Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разбивает его на два треугольника с периметрами 8 и 9. Найдите стороны треугольника.
(Решите с помощью теоремы о медиане в прямоугольном треугольнике)
Ответы
Давайте позначимо сторони прямокутного треугольника так: a, b і c, де c - гіпотенуза. Медіана, проведена до гіпотенузи, розділяє треугольник на два менших схожі прямокутні трикутники.
За теоремою про медіану в прямокутному трикутнику, медіана дорівнює половині гіпотенузи. Отже, довжина медіани дорівнює c/2.
Таким чином, один з менших прямокутних трикутників має сторони a, b і c/2, а інший має сторони a, b і c/2.
Зараз ми знаємо, що сума периметрів цих двох менших трикутників дорівнює 8 + 9 = 17. Ми можемо записати рівняння:
(a + b + c/2) + (a + b + c/2) = 17
Зробимо подальші розрахунки:
2(a + b + c/2) = 17
a + b + c = 17/2
Тепер ми маємо одне рівняння, але маємо ще одну рівність з теореми Піфагора для прямокутних трикутників:
a^2 + b^2 = c^2
Ми можемо використовувати обидві ці рівності для розв'язку. Підставимо значення a + b + c з першого рівняння в друге:
(a + b + c)^2 = c^2
(17/2)^2 = c^2
289/4 = c^2
Тепер витягнемо квадратний корінь:
c = √(289/4)
c = √(289) / √(4)
c = 17/2
Отже, гіпотенуза c дорівнює 17/2. Тепер ми можемо знайти a і b за допомогою теореми Піфагора:
a^2 + b^2 = (17/2)^2
a^2 + b^2 = 289/4
Ми маємо багато можливих значень a і b, які задовольняють цьому рівнянню, оскільки це рівняння представляє собою коло на площині a-b. Однак ми не можемо точно визначити a і b без додаткової інформації.