Question

Натуральное число оканчивается на три нуля и имеет 200
натуральных делителей. На сколько нулей оканчивается произведение всех делителей?

Answer 1

Если натуральное число оканчивается на три нуля, то оно может быть записано как 10^3 * k, где k - натуральное число.

Число делителей числа 10^3 * k вычисляется по формуле (3 + 1)(n + 1), где n - показатель степени простого множителя в разложении числа. В данном случае, у нас есть два простых множителя: 2 и 5.

Для числа 10^3 * k показатель степени для 2 равен 3, и для 5 равен 1 (поскольку 10 = 2^1 * 5^1).

Таким образом, число делителей равно (3 + 1)(1 + 1) = 4 * 2 = 8.

Произведение всех делителей будет равно (10^3 * k)^(8/2) = (10^3 * k)^4.

Извлечение корня из этого выражения:

(10^3 * k)^4 = (10^12 * k^4).

Таким образом, произведение всех делителей оканчивается на 12 нулей.