Прямокутник розрізали на чотири однакових прямокутники із цілими сторонами та периметром 18. Який периметр міг мати початковий прямокутник, що був розрізаний? Знайдіть усі можливі відповіді, а у відповіді запишіть їхню суму.
Ответы
Нехай довжина одного з чотирьох однакових прямокутників дорівнює "а" і ширина - "b". Тоді периметр одного з цих прямокутників дорівнює:
2a + 2b.
За умовою ми знаємо, що периметр одного такого прямокутника дорівнює 18. Тобто:
2a + 2b = 18.
Але ми також знаємо, що прямокутник розрізаний на чотири однакових прямокутника. Отже, сума периметрів всіх чотирьох прямокутників дорівнює 18 * 4 = 72.
Тепер ми можемо виразити одну зі сторін прямокутника через іншу з рівняння 2a + 2b = 18:
2a = 18 - 2b.
a = 9 - b.
Тепер, якщо ми врахуємо, що "а" і "b" є цілими числами, ми можемо розглянути різні комбінації:
a = 1, b = 8.
a = 2, b = 7.
a = 3, b = 6.
a = 4, b = 5.
a = 5, b = 4.
a = 6, b = 3.
a = 7, b = 2.
a = 8, b = 1.
Для кожного з цих варіантів сума периметрів чотирьох прямокутників дорівнює 2(a + b). Знайдемо ці суми для кожного варіанту:
2(1 + 8) = 18.
2(2 + 7) = 18.
2(3 + 6) = 18.
2(4 + 5) = 18.
2(5 + 4) = 18.
2(6 + 3) = 18.
2(7 + 2) = 18.
2(8 + 1) = 18.
Усі ці варіанти дають однакову суму 18. Тобто, периметр початкового прямокутника, що був розрізаний, може бути різним і дорівнює 18 для кожного варіанту. Сума всіх можливих відповідей дорівнює:
18 + 18 + 18 + 18 + 18 + 18 + 18 + 18 = 144.
Отже, сума всіх можливих відповідей дорівнює 144.