Знайдіть усі трицифрові числа, які мають остачу 1 від ділення на 3, остачу 3 від ділення на 5, остачу 5 від ділення на 7 та остачу 7 від ділення на 9. У відповіді запишіть суму всіх цих чисел.
Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснение:
Щоб знайти усі трицифрові числа, які відповідають умовам остач від ділення на 3, 5, 7 та 9, можна скористатися методом китайської теореми про залишки.
Остача від ділення на 3: Щоб мати остачу 1 від ділення на 3, число повинно мати вигляд
3
�
+
1
3n+1.
Остача від ділення на 5: Щоб мати остачу 3 від ділення на 5, число повинно мати вигляд
5
�
+
3
5m+3.
Остача від ділення на 7: Щоб мати остачу 5 від ділення на 7, число повинно мати вигляд
7
�
+
5
7p+5.
Остача від ділення на 9: Щоб мати остачу 7 від ділення на 9, число повинно мати вигляд
9
�
+
7
9q+7.
Тепер можна об'єднати всі ці умови і знайти числа, які їм відповідають. Всі можливі числа можна записати у вигляді
315
�
+
232
315n+232 (де
�
n - ціле число).
Спочатку знайдемо всі можливі значення
�
n від 1 до 999:
315
×
1
+
232
=
547
315×1+232=547
315
×
2
+
232
=
862
315×2+232=862
…
…
315
×
999
+
232
=
313
,
217
315×999+232=313,217
Тепер слід знайти суму всіх цих чисел:
547
+
862
+
…
+
313
,
217
=
(
547
+
313
,
217
)
×
999
2
=
157
,
780
,
500
547+862+…+313,217=
2
(547+313,217)×999
=157,780,500
Отже, сума всіх трицифрових чисел, які мають остачу 1 від ділення на 3, остачу 3 від ділення на 5, остачу 5 від ділення на 7 та остачу 7 від ділення на 9, дорівнює 157,780,500.