Question

Указать область область определения функции, производные и критические точки, промежутки монотонности функции $y=\frac{x^2+1}{2x^2+3x}$

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Область определения функции состоит из всех значений x, для которых знаменатель функции не равен нулю. В данном случае знаменатель равен 2x^2 + 3x. Найдем значения x, при которых знаменатель равен нулю:

2x^2 + 3x = 0

x(2x + 3) = 0

Из этого уравнения получаем два значения x: x = 0 и x = -3/2.

Таким образом, областью определения функции является множество всех значений x, кроме 0 и -3/2.

Чтобы найти производную функции, используем правило дифференцирования для функций вида (f(x)/g(x)):

y' = (g(x)f'(x) - f(x)g'(x))/g^2(x)

Применяя это правило к функции y = (x^2 + 1)/(2x^2 + 3x), получаем:

y' = ((2x^2 + 3x)(2x) - (x^2 + 1)(4x + 3))/((2x^2 + 3x)^2)

y' = (-2x^3 - 3x^2 + 6x^2 + 9x - 4x^2 - 3)/((2x^2 + 3x)^2)

y' = (-2x^3 - x^2 + 6x - 3)/((2x^2 + 3x)^2)

Критические точки функции - это значения x, при которых производная равна нулю или не существует. Решим уравнение y' = 0:

(-2x^3 - x^2 + 6x - 3)/((2x^2 + 3x)^2) = 0

-2x^3 - x^2 + 6x - 3 = 0

Мы можем решить это уравнение численно или приближенно, например, методом графического изображения.

Чтобы найти промежутки монотонности функции, нужно исследовать знак производной на разных интервалах. Знак производной изменяется при переходе через критические точки и точки разрыва функции.