Доведи нерівність:
x² + y² - 2x + 6y +11 > 0
Ответы
Для доведення нерівності x² + y² - 2x + 6y + 11 > 0, спробуймо використовувати метод повного квадрату для кожної змінної x та y окремо.
Для x² - 2x + ... спробуємо знайти таку константу (a), щоб вираз став квадратним:
x² - 2x + a = (x - 1)² - 1.
Для y² + 6y + ... спробуємо знайти константу (b), щоб вираз став квадратним:
y² + 6y + b = (y + 3)² - 9.
Тепер ми можемо переписати вираз з використанням цих квадратних форм:
(x - 1)² - 1 + (y + 3)² - 9 + 11 > 0.
Спростимо це:
(x - 1)² + (y + 3)² + 1 - 9 + 11 > 0,
(x - 1)² + (y + 3)² + 3 > 0.
Ця нерівність справедлива для всіх значень x та y, оскільки вона включає квадратні члени (x - 1)² і (y + 3)², які завжди не менше 0. Таким чином, вираз x² + y² - 2x + 6y + 11 завжди більше 0 для всіх значень x та y, і нерівність виконується для всього діапазону значень цих змінних.