Question

Знайти найменше значення функції y=(2x^2)/(x+1) на проміжку [-1/2;3]

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Знайдемо похідну функції y відносно x:

y = (2x^2) / (x + 1)

y' = [(2x^2)'(x + 1) - (2x^2)(x + 1)'] / (x + 1)^2

y' = [2(2x)(x + 1) - 2x^2] / (x + 1)^2

y' = [4x(x + 1) - 2x^2] / (x + 1)^2

y' = [4x^2 + 4x - 2x^2] / (x + 1)^2

y' = (2x^2 + 4x) / (x + 1)^2

Тепер розв'яжемо рівняння y' = 0, щоб знайти точки, де похідна дорівнює нулю:

(2x^2 + 4x) / (x + 1)^2 = 0

2x^2 + 4x = 0

2x(x + 2) = 0

x1 = 0

x2 = -2

Маємо дві точки, де похідна дорівнює нулю: x1 = 0 та x2 = -2. Тепер перевіримо значення функції у цих точках, а також на кінцях проміжку [-1/2; 3] (тобто в точках x = -1/2 та x = 3):

y(-1/2) = (2(-1/2)^2) / (-1/2 + 1) = (1/2) / (1/2) = 1

y(-2) = (2(-2)^2) / (-2 + 1) = (8) / (-1) = -8

y(0) = (2(0)^2) / (0 + 1) = 0

y(3) = (2(3)^2) / (3 + 1) = (18) / (4) = 4.5

Таким чином, найменше значення функції y на проміжку [-1/2; 3] дорівнює -8, і досягається це значення при x = -2.