Срочно пожалуйста .... Пусть K — множество всех сходящихся последовательностей, а K1, K2, . . . , K8
— множества последовательностей из списка (1) ∃ε > 0 ∃N ∃n ⩾ N : |xn| < ε;
2) ∃ε > 0 ∃N ∀n ⩾ N : |xn| < ε;
3) ∃ε > 0 ∀N ∃n ⩾ N : |xn| < ε;
4) ∀ε > 0 ∃N ∃n ⩾ N : |xn| < ε;
5) ∃ε > 0 ∀N ∀n ⩾ N : |xn| < ε;
6) ∀ε > 0 ∃N ∀n ⩾ N : |xn| < ε;
7) ∀ε > 0 ∀N ∃n ⩾ N : |xn| < ε;
8) ∀ε > 0 ∀N ∀n ⩾ N : |xn| < ε;)
1) Для каких j(из списка) = 1, 2, . . . , 8 верно включение Kj ⊂ K.
2) Какие из множеств Kj содержать как сходящиеся, так и расходящиеся
последовательности.
3) Какие из множеств Kj содержать неограниченные последовательности.
4) Какому из условий 1)-8) удовлетворяет любая последовательность.
5) Какие из множеств Kj совпадают.
Ответы
Ответ:Давайте рассмотрим каждый пункт по порядку:
Для каких j (из списка) = 1, 2, ..., 8 верно включение Kj ⊂ K.
Пункты 1, 2, 4 и 6 из списка включают сходящиеся последовательности, так как они содержат условие сходимости (существование предела).
Пункты 3, 5, 7 и 8 не включают сходящиеся последовательности, так как они не содержат явного условия сходимости.
Таким образом, множества K1, K2, K4 и K6 содержат сходящиеся последовательности.
Какие из множеств Kj содержать как сходящиеся, так и расходящиеся последовательности.
Пункты 1, 2, 4 и 6 содержат как сходящиеся, так и расходящиеся последовательности. Это связано с тем, что они содержат условие сходимости, но не содержат условие ограниченности последовательности.
Таким образом, множества K1, K2, K4 и K6 содержат как сходящиеся, так и расходящиеся последовательности.
Какие из множеств Kj содержать неограниченные последовательности.
Пункты 1, 2, 4 и 6 содержат неограниченные последовательности. Это связано с тем, что они не содержат условие ограниченности последовательности.
Таким образом, множества K1, K2, K4 и K6 содержат неограниченные последовательности.
Какому из условий 1)-8) удовлетворяет любая последовательность.
Любая последовательность удовлетворяет пункту 8 (для любого ε > 0 и любого N существует n ≥ N такое, что |xn| < ε), так как это самое общее условие, которое не накладывает ограничений на последовательность.
Какие из множеств Kj совпадают.
Множества K3 и K7 совпадают, так как они содержат одни и те же условия (существование ε и существование n).
Итак, подведем итоги:
Включение Kj ⊂ K верно для K1, K2, K4 и K6.
Множества K1, K2, K4 и K6 содержат как сходящиеся, так и расходящиеся последовательности.
Множества K1, K2, K4 и K6 содержат неограниченные последовательности.
Любая последовательность удовлетворяет пункту 8.
Множества K3 и K7 совпадают.
Объяснение: