Дано координати вершин трикутника АВС. Знайти: 1) рівняння сторони ВС; 2) рівняння висоти АН; 3) рівняння медіани АМ; 4) рівняння бісектриси АК.Виконати побудову A(2;6), B(5;2),C(-6;0)
Ответы
Для решения этой задачи, давайте выполним следующие шаги:
1) Найдем уравнение прямой, проходящей через точки B(5;2) и C(-6;0). Это уравнение будет являться уравнением стороны ВС.
2) Найдем уравнение высоты АН, проведенной из вершины A(2;6). Высота перпендикулярна стороне ВС и проходит через точку A(2;6).
3) Найдем уравнение медианы АМ, проведенной из вершины A(2;6). Медиана соединяет вершину A с серединой стороны ВС.
4) Найдем уравнение биссектрисы АК, проведенной из вершины A(2;6). Биссектриса делит угол ВАС пополам.
Давайте начнем с первого шага:
1) Уравнение стороны ВС:
Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точки B(5;2) и C(-6;0), мы можем использовать уравнение прямой в общем виде:
y = mx + b,
где m - коэффициент наклона (slope), а b - точка пересечения с осью y (y-intercept).
Сначала найдем коэффициент наклона m:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (0 - 2) / (-6 - 5) = (-2) / (-11) = 2/11.
Теперь найдем b, используя одну из точек, например, C(-6;0):
0 = (2/11)(-6) + b,
0 = -12/11 + b,
b = 12/11.
Итак, уравнение стороны ВС:
y = (2/11)x + 12/11.
2) Уравнение высоты АН:
Высота АН перпендикулярна стороне ВС и проходит через точку A(2;6). Уравнение высоты будет вертикальной прямой с координатами x = 2.
Итак, уравнение высоты АН:
x = 2.
3) Уравнение медианы АМ:
Медиана соединяет вершину A(2;6) с серединой стороны ВС. Для нахождения середины отрезка BC, найдем средние значения их координат:
x_m = (x_B + x_C) / 2 = (5 + (-6)) / 2 = -1/2,
y_m = (y_B + y_C) / 2 = (2 + 0) / 2 = 1.
Итак, середина отрезка BC имеет координаты (-1/2;1). Теперь мы можем использовать уравнение прямой, проходящей через точку A(2;6) и середину стороны ВС (-1/2;1):
Уравнение медианы АМ:
y = mx + b,
где m - коэффициент наклона (slope), а b - точка пересечения с осью y (y-intercept).
Найдем коэффициент наклона m:
m = (1 - 6) / (-1/2 - 2) = (-5) / (-5/2) = 2.
Теперь найдем b, используя одну из точек, например, A(2;6):
6 = 2(2) + b,
6 = 4 + b,
b = 2.
Итак, уравнение медианы АМ:
y = 2x + 2.
4) Уравнение биссектрисы АК:
Биссектриса угла ВАС делит угол ВАС пополам. Найдем координаты точки K, которая является серединой стороны ВС:
x_K = (x_B + x_C) / 2 = (5 + (-6)) / 2 = -1/2,
y_K = (y_B + y_C) / 2 = (2 + 0) / 2 = 1.
Теперь у нас есть точка K(-1/2;1), которая лежит на биссектрисе. Мы также знаем угол ВАС и уравнение стороны ВС.
Угол ВАС можно найти, используя тригонометрию. Для этого нам нужны длины сторон:
AB = √((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2) = √((5 - 2)^2 + (2 - 6)^2) = √(3^2 + (-4)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5.
AC = √((x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2) = √((-6 - 2)^2 + (0 - 6)^2) = √((-8)^2 + (-6)^2) = √(64 + 36) = √100 = 10.
Теперь мы можем найти длину биссектрисы AK, используя теорему косинусов:
cos(∠VAS) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC),
где BC - сторона ВС.
cos(∠VAS) = (5^2 + 10^2 - BC^2) / (2 * 5 * 10),
cos(∠VAS) = (25 + 100 - BC^2) / (2 * 50),
cos(∠VAS) = (125 - BC^2) / 100.
Так как биссектриса дел
ит угол ВАС пополам, то ∠VAK = ∠CAS = ∠VAS/2. Теперь мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения длины AK:
cos(∠VAK) = cos(∠CAS) = cos(∠VAS/2) = √((1 + cos(∠VAS)) / 2).
cos(∠VAK) = √((1 + (125 - BC^2) / 100) / 2).
cos(∠VAK) = √((225 - BC^2) / 200).
Сравнивая это с формулой для косинуса вектора BK, где BK = -1/2 (см. шаг 1), мы можем записать:
cos(∠VAK) = √((225 - BC^2) / 200) = -1/2.
Теперь можно решить уравнение относительно BC:
√((225 - BC^2) / 200) = -1/2.
Умножим обе стороны на 200:
√(225 - BC^2) = -100.
Теперь возводим обе стороны в квадрат:
225 - BC^2 = 10000.
Переносим -BC^2 на левую сторону:
BC^2 = 10000 - 225.
BC^2 = 9775.
BC = √9775.
Теперь у нас есть длина стороны ВС, которую мы можем использовать, чтобы найти уравнение биссектрисы AK.
Уравнение биссектрисы AK:
Для нахождения уравнения биссектрисы, мы можем использовать координаты точки A(2;6) и длину BC:
Уравнение биссектрисы AK:
(BC/AB) * (x - x_A) + y_A = y,
где (x_A, y_A) - координаты точки A(2;6), BC - длина стороны ВС, AB - длина стороны AB.
BC = √9775,
AB = 5,
(x_A, y_A) = (2, 6).
Подставляем значения:
(√9775/5) * (x - 2) + 6 = y.
Таким образом, уравнение биссектрисы АК:
(√9775/5) * (x - 2) + 6 = y.
Теперь у нас есть уравнения для стороны ВС, высоты АН, медианы АМ и биссектрисы АК:
1) Сторона ВС: y = (2/11)x + 12/11.
2) Высота АН: x = 2.
3) Медиана АМ: y = 2x + 2.
4) Биссектриса АК: (√9775/5) * (x - 2) + 6 = y.