Question

1)Діагональ ромба, периметр якого 120 м, утворює з однією з діагоналей кут 600. Знайдіть кути та сторони ромба.
2)Периметр прямокутника дорівнює 112 см, а дві його сторони відносяться як 5:3. Знайдіть сторони прямокутника.
3)Доведіть, що якщо діагоналі ромба рівні, то він є квадратом

Answer 1

1) Нехай "d" - діагональ ромба, а "a" - сторона ромба. Ми знаємо, що периметр ромба дорівнює 120 м, і кути між діагоналлю і стороною ромба дорівнюють 60 градусів.

Периметр ромба складається з чотирьох сторін ромба:
4a = 120 м
a = 120 м / 4
a = 30 м

Тепер ми можемо використовувати тригонометричні функції для знаходження діагоналей ромба. Відомо, що кут між діагоналлю і стороною дорівнює 60 градусів. Використовуючи тригонометричні функції для кута 60 градусів, ми отримуємо:

cos(60°) = d / 2a
d = 2a * cos(60°)
d = 2 * 30 м * 0.5
d = 30 м

Отже, сторони ромба "a" дорівнюють 30 м, і діагоналі також дорівнюють 30 м.

2) Нехай "a" і "b" - сторони прямокутника. За умовою, дві його сторони відносяться як 5:3, тобто a:b = 5:3. Ми також знаємо, що периметр прямокутника дорівнює 112 см, і периметр прямокутника обчислюється як:

2a + 2b = 112 см

Ми можемо використовувати відоме відношення між a і b, щоб знайти їх значення. Поділимо обидві сторони на 2:

a + b = 56 см

Тепер виразимо "a" через "b" з відомого відношення:

a = (5/3) * b

Підставимо це в останнє рівняння:

(5/3) * b + b = 56

(5/3 + 1) * b = 56

(8/3) * b = 56

b = (3/8) * 56
b = 21 см

Тепер, знаючи значення "b", ми можемо знайти "a":

a = (5/3) * 21 см
a = 35 см

Отже, сторони прямокутника дорівнюють 35 см і 21 см.

3) Щоб довести, що ромб є квадратом, досить показати, що всі його кути рівні 90 градусів, тобто він є прямокутником, і всі його сторони рівні між собою.

Відомо, що діагоналі ромба рівні. Якщо ми позначимо діагоналі ромба як "d₁" і "d₂", то ми можемо записати відомі властивості ромба:

1) У ромба всі сторони рівні: a = b = c = d.
2) Діагоналі діляться пополам: d₁ = d₂.

Якщо діагоналі рівні (d₁ = d₂), то це означає, що обидві діагоналі діляться рівно пополам і перетинаються в центрі ромба, утворюючи чотири прямокутника. У прямокутниках всі кути рівні 90 градусів. Отже, всі кути ромба також рівні 90 градусів.

Таким чином, якщо діагоналі ромба рівні, то ромб є квадратом.