ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА СРОЧНО
При двукратном бросании игральной кости сумма выпавших очков равна 9. Найдите условную вероятность события:
a) в первый раз выпадет 5 очков;
б) при одном из бросков выпадет 4 очка; в) в первый раз выпадет меньше очков, чем во второй;
г) во второй раз выпадет меньше чем 3 очка.
Ответы
Ответ:
Всего существует 36 различных комбинаций, так как каждая кость имеет 6 граней, и у нас два броска.
a) В первый раз выпадет 5 очков. Существует 4 способа, которыми можно получить 5 очков: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1). Для этого события вероятность составляет 4/36.
б) При одном из бросков выпадет 4 очка. Также есть 4 способа получить 4 очка: (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0). Для этого события вероятность также составляет 4/36.
в) В первый раз выпадет меньше очков, чем во второй. Существует несколько пар комбинаций, где это произойдет: (1, 5), (1, 4), (1, 3), (1, 2), (2, 5), (2, 4), (2, 3). Вероятность этого события равна числу благоприятных исходов (7) делить на общее число исходов (36), что составляет 7/36.
г) Во второй раз выпадет меньше чем 3 очка. Существует 2 способа, чтобы это произошло: (1, 1) и (2, 0). Вероятность этого события равна 2/36.
a) P(5 на первом броске) = 4/36 = 1/9
б) P(4 на одном из бросков) = 4/36 = 1/9
в) P(меньше на первом, чем на втором) = 7/36
г) P(меньше чем 3 на втором броске) = 2/36 = 1/18
Ответ:
Событие X - "сумма выпавших очков равна 9".
Событие Y - одно из событий, описанных в пунктах (А), (Б), (В), (Г).
Вероятность того, что произошли оба события:
P(X, Y) = P(X / Y) P(Y) = P(X) P(Y / X)
От сюда можно выразить вероятность исходного события:
P(Y / X) = P(Y) P(X / Y) / P(X)
P(Y) - вероятность события Y.
P(X / Y) - вероятность события X при условии реализации события Y.
P(X) - вероятность события X.
Давайте посмотрим на примере (А). Остальные сами.
Событие Y - "в первый раз выпало 5 очков". Одно из шести возможных равновероятных событий, очевидно:
P(Y) = 1 / 6
Предствим, что событие Y реализовалось. Тогда какова вероятность события X. Чтобы в сумме было 9 очков, нужно, чтобы при втором броске выпало 4. Тоже одно из шести возможных равновероятных событий:
P(X / Y) = 1 / 6
Осталось посчитать вероятность события X. Например, через комбинаторику. Сколько возможно результатов при броске двух кубиков?
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)
всего 36 штук.
При скольки из них сумма очков равна 9?
(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)
всего 4 штуки.
Получаем вероятность X:
P(X) = 4 / 36 = 1 / 9
И усе, подставляем все это в выражение для искомой вероятности:
P(Y / X) = [1 / 6] [1 / 6] / [1 / 9] = 0.25
А вообще, если вам не надо делать это влоб, то можете заметить, что раз выпало в сумме 9, то возможны варианты:
(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)
И вас спрашивают: какова вероятность, что на первой позиции число 5? Один вариант из четырех равновероятных. Ответ 25%.