Question

Доведіть, що при будь-якому значенні змінної є правильною нерівність
1. (x + 1)2 > x (x + 2);
2. (a – 5) (a + 2) > (a + 5) (a – 8);
3. y (y + 8) < (y + 4)2;

Answer 1

Ответ:

Для доведения, що дані нерівності є правильними для будь-якого значення змінних, ми можемо скористатися алгебраїчними перетвореннями. Давайте розглянемо кожну з нерівностей окремо:

1. (x + 1)² > x (x + 2)

Розгорнемо квадрат лівої сторони нерівності:

(x + 1)² = x² + 2x + 1

Тепер порівняємо це з виразом у правій частині:

x (x + 2)

Розгорнемо праву частину:

x (x + 2) = x² + 2x

Тепер ми можемо переписати нерівність:

x² + 2x + 1 > x² + 2x

Зараз видалимо спільні доданки з обох боків:

1 > 0

Ця нерівність завжди виконується, оскільки 1 завжди більше за 0. Тому перша нерівність є правильною.

2. (a – 5) (a + 2) > (a + 5) (a – 8)

Розгорнемо обидві сторони нерівності:

(a - 5) (a + 2) = a² - 3a - 10

(a + 5) (a - 8) = a² - 3a - 40

Тепер перепишемо нерівність:

a² - 3a - 10 > a² - 3a - 40

Видаляючи спільні доданки з обох боків, ми отримуємо:

30 > 0

Ця нерівність також завжди виконується, оскільки 30 більше за 0. Тому друга нерівність є правильною.

3. y (y + 8) < (y + 4)²

Розгорнемо квадрат в правій частині нерівності:

(y + 4)² = y² + 8y + 16

Тепер перепишемо нерівність:

y (y + 8) < y² + 8y + 16

Видаляючи спільні доданки з обох боків, отримуємо:

0 < 16

Ця нерівність також завжди виконується, оскільки 0 менше за 16. Тому третя нерівність є правильною.

Отже, всі три нерівності є правильними для будь-яких значень відповідних змінних.