Ребро куба ABCDA1B1C1D1 дорівнює 4 см. Точка М належить ребру АА1, АМ = 3 см. Точка N належить ребру СС1, С1 = 1 см. Точка К ділить ребро DD1 у відношенні 1 : 3, рахуючи від вершини D. Знайдіть відстань від точки В до лінії перетину площин КМN і АВС.
Ответы
Ответ: відстань від точки В до лінії перетину площин КМN і АВС дорівнює 0 см.
Объяснение: Для знаходження відстані від точки В до лінії перетину площин КМN і АВС, спершу знайдемо точку перетину цих площин, а потім знайдемо відстань від В до цієї точки.
Знаходимо точку перетину КМN:
Оскільки М лежить на ребру АА1 і АМ = 3 см, а С лежить на ребру СС1 і С1С = 1 см, то можемо записати координати цих точок:
M(0, 3, 0) (оскільки A лежить в початку координат),
C(0, 0, 1).
Тепер знайдемо координати точки K. Оскільки K ділить ребро DD1 у відношенні 1 : 3, рахуючи від вершини D, то координати K можна знайти, використовуючи формулу для знаходження точки на відрізку з заданими координатами:
K(0, 0, 4 - 4/3) = K(0, 0, 8/3).
Знаходимо рівняння площини КМN:
Для цього складемо векторне рівняння площини, використовуючи вектори КМ і КN (де КМ - вектор, спрямований від К до М, і КN - вектор, спрямований від К до N). Векторне рівняння площини має вигляд:
(r - K) * (KM x KN) = 0,
де r - координати точки (x, y, z).
Підставимо вектори та знайдені координати:
(r - K) * ((0, 3, 0) x (0, 0, 1)) = 0,
(r - (0, 0, 8/3)) * (3, 0, 0) = 0,
(x, y, z - 8/3) * (3, 0, 0) = 0,
3x = 0,
x = 0.
Таким чином, рівняння площини КМN має вигляд: x = 0.
Знаходимо відстань від В до площини КМN:
Відстань від точки до площини можна знайти за допомогою формули:
d = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2),
де (A, B, C) - нормальний вектор площини, (x, y, z) - координати точки, (D) - константа рівняння площини.
У нашому випадку, ми маємо рівняння площини x = 0. Тому A = 1, B = 0, C = 0, і D = 0.
Підставимо ці значення у формулу:
d = |10 + 00 + 0*0 + 0| / √(1^2 + 0^2 + 0^2) = 0 / 1 = 0.
Ответ:
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 дорівнює 4 см. Точка М належить ребру АА1, АМ = 3 см. Точка N належить ребру СС1, С1 = 1 см. Точка К ділить ребро DD1 у відношенні 1 : 3, рахуючи від вершини D. Знайдіть відстань від точки В до лінії перетину площин КМN і АВС.
Для вирішення даної задачі потрібно знайти відстань від точки В до лінії перетину площин КМN і АВС.
Спочатку знайдемо координати вершин куба:
A(0, 0, 0), B(4, 0, 0), C(4, 4, 0), D(0, 4, 0),
A1(0, 0, 4), B1(4, 0, 4), C1(4, 4, 4), D1(0, 4, 4).
Точка М знаходиться на ребрі АА1 і АМ = 3 см, тому її координати будуть:
M(0, 0, 3).
Аналогічно, точка N знаходиться на ребрі СС1 і С1М = 1 см, тому її координати будуть:
N(4, 4, 1).
Точка К ділить ребро DD1 у відношенні 1 : 3, відлічуючи від вершини D. Отже, координати точки К будуть:
K(0, 4 * (1/4), 4 * (1/4 + 1/3)) = K(0, 1, 2.6667).
Тепер знайдемо рівняння площини КМN. Для цього потрібно знайти вектори, паралельні КМ і КN, і скористатися ними для запису рівняння площини.
Вектор КМ: KM = M - K = (0, 0, 3) - (0, 1, 2.6667) = (0, -1, 0.3333).
Вектор КN: KN = N - K = (4, 4, 1) - (0, 1, 2.6667) = (4, 3, -1.6667).
Нормальний вектор площини КМN: n = KM x KN.
n = (0, -1, 0.3333) x (4, 3, -1.6667) = (-2.1664, 0.6667, 3).
Рівняння площини КМN: -2.1664(x - 0) + 0.6667(y - 0) + 3(z - 0) = 0,
або -2.1664x + 0.6667y + 3z = 0.
Тепер знайдемо рівняння площини ABC. Для цього потрібно знайти вектори, паралельні АB і АС, і скористатися ними для запису рівняння площини.
Вектор AB: AB = B - A1 = (4, 0, 0) - (0, 0, 4) = (4, 0, -4).
Вектор AC: AC = C - A = (4, 4, 0) - (0, 0, 0) = (4, 4, 0).
Нормальний вектор площини ABC: n = AB x AC.
n = (4, 0, -4) x (4, 4, 0) = (-16, -16, 16).
Рівняння площини ABC: -16(x - 0) - 16(y - 0) + 16(z - 0) = 0,
або -16x - 16y + 16z = 0.
Тепер знайдемо точку перетину площин КМN і АВС. Для цього потрібно вирішити систему рівнянь площин:
-2.1664x + 0.6667y + 3z = 0,
-16x - 16y + 16z = 0.
Розв'язавши дану систему рівнянь, знайдемо координати точки перетину:
x = 0, y = 0, z = 0.
Отже, точка перетину площин КМN і АВС має координати P(0, 0, 0).
Знайдемо відстань від точки В до лінії перетину площин КМN і АВС. Для цього знайдемо проекцію вектора BP на напрямний вектор лінії перетину.
Вектор BP: BP = P - B = (0, 0, 0) - (4, 0, 0) = (-4, 0, 0).
Напрямний вектор лінії перетину: n = (-2.1664, 0.6667, 3).
Проекція вектора BP на напрямний вектор лінії перетину:
projection = (BP · n) / (|n|^2) * n,
де · - скалярний добуток, |n| - довжина вектора n.
Обчислюємо чисельник:
(-4, 0, 0) · (-2.1664, 0.6667, 3) = -4*(-2.1664) + 0*0.6667 + 0*3 ≈ 8.6656.
Обчислюємо знаменник:
|-2.1664, 0.6667, 3|^2 = (-2.1664)^2 + 0.6667^2 + 3^2 ≈ 19.706.
Тепер можна обчислити проекцію:
projection ≈ (8.6656 / 19.706) * (-2.1664, 0.6667, 3) ≈ (-0.9524, 0.2931, 1.6707).
Відстань від точки В до лінії перетину площин КМN і АВС дорівнює довжині проекції вектора BP на напрямний вектор лінії перетину. Довжина проекції дорівнює:
sqrt((-0.9524)^2 + 0.2931^2 + 1.6707^2) ≈ sqrt(3) ≈ 1.732.
Отже, відстань від точки В до лінії перетину площин КМN і АВС складає приблизно 1.732 см.