Question

Найдите все натуральные n НЕ МЕТОДОМ ПОДБОРА
, при которых значение выражения n³+4n² − 5n + 16
является кубом натурального числа, и докажите что таких n больше нет .

Answer 1

Ответ:

3; 5

Пошаговое объяснение:

Поскольку 4n²-5n+16>0 при всех n (даже необязательно натуральных - ведь дискриминант этого квадратного трехчлена меньше нуля, а старший коэффициент положителен), делаем вывод, что n³+4n²-5n+16>n³, поэтому  задача состоит в поиске натуральных n  и a таких, чтобы

                    (n+a)³=n³+4n²-5n+16 ⇔ 3n²a+3na²+a³=4n²-5n+16 ⇔

                                ⇔ n²(3a-4)+n(3a²+5)+(a³-16)=0.

Заметим, что при натуральных a>3 выражение, стоящее в левой части последнего равенства, положительно, поэтому надо исследовать только a=1 и a=2.

1) a=1⇒ -n²+8n-15=0⇔(n-3)(n-5)=0. То есть n=3 или n=5.

2) a=2⇒2n²+17n-8=0. Здесь натуральных корней нет (уже при n=1 левая часть положительна, а при росте n она только увеличивается).