Question

Объясните, что происходит когда R-> ∞? Выходит что поток -> 0? А если это так, то поверхность не охватывает заряды? Либо решение в принципе неправильное?

​

Answer 1

Рассмотрим точку, находящуюся в плоскости между зарядами на расстоянии a от прямой, содержащей заряды

Каждый заряд создает в ней поле, по модулю равное

$E_0 = q/(l^2+a^2)$

Однако, два этих поля складываются векторно так, что в итоге суммируются только их проекции, перпендикулярные плоскости между зарядами. Поэтому результирующее поле в выбранной точке плоскости

$\displaystyle E=2E_0\cos\alpha = \frac{2q}{l^2+a^2}\frac{l}{\sqrt{l^2+a^2}}$

Для нахождения потока этого поля через круг радиуса R удобно перейти к полярным координатам в вышеозначенной плоскости. Так как поле в любой точке круга перпендикулярно этой плоскости, имеем

$\displaystyle\Phi = \int\limits_{a\leq R}\frac{2ql\cdot dS}{(l^2+a^2)^{3/2}} = ql\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{0}^{R}\frac{2ada}{(l^2+a^2)^{3/2}} =\\\\= 2\pi ql\int\limits_{0}^{R^2}\frac{du}{(l^2+u)^{3/2}} = 2\pi ql\left.\left(-\frac{2}{(l^2+u)^{1/2}}\right)\right|_{0}^{R^2}=\\\\=4\pi q l\left(\frac{1}{l}-\frac{1}{\sqrt{R^2+l^2}}\right)$

При стремлении $R$ к бесконечности ответ стремится к $4\pi q$. Связывать этот поток с "охваченными" зарядами несколько некорректно, потому что рассматриваемая поверхность незамкнута и теорема Гаусса для нее неприменима.