Question

Помогите мне пожалуйста решить, вероятность​

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{34}{15};\ \dfrac{69}{35};\ \dfrac{37}{21}.$

Объяснение:

Проще всего ищутся вероятности того, что данные случайные величины принимают значение 1. Скажем, $\xi=1$ означает, что победителем  стал один из двух членов первой команды, а поскольку всего участников 9 и шансы у всех одинаковые, то $P(\xi=1)=\dfrac{2}{9}.$ Аналогично $P(\eta=1)=\dfrac{3}{9};\ P(\zeta=1)=\dfrac{4}{9}.$ Для поиска вероятностей занять второе место будем искать сначала условные вероятности. Например, $P(\eta=2|\ \xi=1)=\dfrac{3}{7};\ P(\zeta=2|\ \xi=1)=\dfrac{4}{7},$ поскольку если уже известно, что один игрок первой команды занял первое место, а второй какое-то из оставшихся 8 (напомним, что этот результат учитываться не будет), то лучшее из оставшихся 7 мест может занять любой из 3 участников второй команды и любой из 4 участников третьей команды. Аналогично

                    $P(\xi=2|\ \eta=1)=\dfrac{2}{6};\ P(\zeta=2|\ \eta=1)=\dfrac{4}{6};$

                    $P(\xi=2|\ \zeta=1)=\dfrac{2}{5};\ P(\eta=2|\ \zeta=1)=\dfrac{3}{5}.$

Далее воспользуемся формулой полной вероятности:

$P(\xi=2)=P(\xi=2|\ \eta=1)\cdot P(\eta=1)+P(\xi=2|\ \zeta=1)\cdot P(\zeta=1)=\dfrac{13}{45};$

                           $P(\eta=2)=\dfrac{38}{105};\ P(\zeta=2)=\dfrac{22}{63}.$

Поскольку сумма вероятностей всех значений, которые принимает случайная величина, равна 1, мы можем найти оставшиеся вероятности:     $P(\xi=3)=1-P(\xi=1)-P(\xi=2)=\dfrac{22}{45};$

                                    $P(\eta=3)=\dfrac{32}{105};\ P(\zeta=3)=\dfrac{13}{63}.$

Осталось найти математические ожидания, которые вычисляются по формуле сумма произведений значений случайной величины на их вероятности:    $M\xi=1\cdot P(\xi=1)+2\cdot P(\xi=2)+3\cdot P(\xi =3)=\dfrac{34}{15};$

                                           $M\eta=\dfrac{69}{35};\ M\zeta=\dfrac{37}{21}.$

Замечание. Некоторую проверку правдоподобности полученных результатов можно провести так: поскольку $\xi+\eta+\zeta=6$ (сумма занятых мест всегда равна 6), сумма математических ожиданий должна также равняться 6; сложив три полученных числа, убеждаемся в этом. А перед этим обращаем внимание на то, что

                                    $3 > M\xi > M\eta > M\zeta > 1.$