Question

Доведіть нерівність:
1)m^2+n^2+1 більше або дорівнює m+n+mn
2) a^2+b^2+c^2>2(a+b+c)-4

Answer 1

1)

$m^2+n^2+1 \ge  m+n+mn$

$m^2+n^2+1 -m-n-mn \ge 0\ \ \ |\cdot 2$

$2m^2+2n^2+2 -2m-2n-2mn \ge 0$

$(m^2-2mn+n^2)+(m^2-2m+1)+(n^2-2n+1) \ge 0$

$(m-n)^2+(m-1)^2+(n-1)^2 \ge 0$

сума невід’ємних чисел є невід’ємним числом

2)

$a^2+b^2+c^2>2(a+b+c)-4$

$a^2+b^2+c^2>2a+2b+2c-4>0$

$a^2+b^2+c^2-2a-2b-2c+4>0$

$a^2-2a+1+b^2-2b+1+c^2-2c+1+1>0$

$(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2+1>0$

сума невід’ємних чисел і додатного числа є додатним числом