Question

Среднее арифметическое набора чисел 2, 3, 7 равно 4, а дисперсия равна 4 целых 2/3. Пользуясь свойствами среднего и дисперсии, найдите среднее арифметическое и дисперсию набора чисел:
а) 3, 4, 8
б) 0, 1, 5
в) 112, 113, 117

Answer 1

Ответ:

а) $\overline{x}_1=5;\ D_1=4\dfrac{2}{3}$

б) $\overline{x}_2=2;\ D_2=4\dfrac{2}{3}$

в) $\overline{x}_3=114;\ D_3=4\dfrac{2}{3}$

Решение:

Воспользуемся двумя свойствами:

1. При увеличении всех чисел набора на некоторое постоянное число, среднее арифметическое этого набора чисел также увеличится на это число.

2. При увеличении всех чисел набора на некоторое постоянное число, дисперсия этого набора не изменится.

По условию дан набор 2, 3, 7. Его характеристики:

$\overline{x}=4;\ D=4\dfrac{2}{3}$

Рассмотрим новые наборы.

а) Каждое из чисел набора 3, 4, 8 на 1 больше соответствующих чисел из набора 2, 3, 7. Значит, среднее арифметическое набора увеличилось на 1, а дисперсия не изменилась:

$\overline{x}_1=\overline{x}+1=4+1=5$

$D_1=D=4\dfrac{2}{3}$

б) Каждое из чисел набора 0, 1, 5 на 2 меньше соответствующих чисел из набора 2, 3, 7. Значит, среднее арифметическое набора уменьшилось на 2, а дисперсия не изменилась:

$\overline{x}_2=\overline{x}-2=4-2=2$

$D_2=D=4\dfrac{2}{3}$

в) Каждое из чисел набора 112, 113, 117 на 110 больше соответствующих чисел из набора 2, 3, 7. Значит, среднее арифметическое набора увеличилось на 110, а дисперсия не изменилась:

$\overline{x}_3=\overline{x}+110=4+110=114$

$D_3=D=4\dfrac{2}{3}$

Элементы теории:

1. При увеличении всех чисел набора на одно и то же число, среднее арифметическое этого набора также увеличится на это же число.

Покажем это на наборе из 3 чисел. Пусть имеются числа:

$a_1;\ a_2;\ a_3$,

среднее арифметическое которых равно $\overline{x}$.

После увеличения каждого из них на некоторое число $m$ получим набор:

$a_1+m;\ a_2+m;\ a_3+m$

Найдем среднее арифметическое нового набора:

$\overline{x}\,'=\dfrac{(a_1+m)+(a_2+m)+(a_3+m)}{3}$

$=\dfrac{(a_1+a_2+a_3)+3m}{3} =\dfrac{a_1+a_2+a_3}{3} +m=\overline{x}+m$

Действительно, среднее арифметическое нового набора увеличилось на $m$.

2. При увеличении всех чисел набора на одно и то же число, дисперсия этого набора не изменится.

Для дисперсии важно отклонение чисел набора от среднего значения набора. Но как было выяснено ранее, при увеличении всех чисел набора на одно и то же число, среднее арифметическое также увеличится на это же число. Таким образом, отклонение чисел набора от среднего значения не изменится, а следовательно, не изменится и дисперсия.