cos^3x-sin^3x/1+sinxcosx=cosx-sinx
Доказать идентичность
Ответы
Для доказательства данной идентичности, начнем с левой стороны уравнения и постараемся упростить ее с использованием тригонометрических тождеств:
Исходное выражение:
( cos^3x - sin^3x ) / ( 1 + sinx*cosx )
Сначала мы заметим, что в числителе у нас есть разность кубов. Мы можем применить формулу разности кубов:
cos^3x - sin^3x = (cosx - sinx)(cos^2x + cosx*sinx + sin^2x)
Теперь мы видим, что в числителе у нас есть выражение (cosx - sinx), которое также присутствует в знаменателе. Мы можем сократить его:
(cosx - sinx)(cos^2x + cosx*sinx + sin^2x) / (1 + sinx*cosx)
Теперь заметим, что в числителе у нас есть выражение (cos^2x + cosx*sinx + sin^2x), которое равно 1 по тригонометрическому тождеству sin^2x + cos^2x = 1. Мы заменяем это выражение на 1:
(cosx - sinx)(1) / (1 + sinx*cosx)
Теперь у нас осталось выражение (cosx - sinx) в числителе и (1 + sinx*cosx) в знаменателе:
(cosx - sinx) / (1 + sinx*cosx)
И это уже равно правой стороне уравнения (cosx - sinx). Таким образом, идентичность доказана:
( cos^3x - sin^3x ) / ( 1 + sinx*cosx ) = cosx - sinx