Question

Розвʼяжіть нерівність:
1) 6(x - 2) + 3(x + 7) ≥ 8(x - 3) + 2;
2) -x2-5x+6<0.

Answer 1

1) Розв'яжемо нерівність:
6(x - 2) + 3(x + 7) ≥ 8(x - 3) + 2.

Спростимо ліву і праву сторони нерівності:

6x - 12 + 3x + 21 ≥ 8x - 24 + 2.

Тепер об'єднаємо подібні члени:

(6x + 3x) + (-12 + 21) ≥ (8x - 24 + 2).

9x + 9 ≥ 8x - 22.

Перенесемо всі члени з x на одну сторону, а числа на іншу сторону:

9x - 8x ≥ -22 - 9.

x ≥ -31.

Отже, розв'язком нерівності є x, яке більше або дорівнює -31: x ≥ -31.

2) Розв'яжемо нерівність:
-x^2 - 5x + 6 < 0.

Спростимо ліву сторону нерівності:

-x^2 - 5x + 6 < 0.

Перенесемо всі члени на одну сторону:

-x^2 - 5x + 6 + 0.

Тепер спростимо дальше, змінивши знак нерівності на обернений (менше на більше) і факторизуючи квадратний тричлен:

(x^2 + 5x - 6) > 0.

Тепер розв'яжемо квадратне рівняння x^2 + 5x - 6 = 0, щоб знайти корені:

(x + 6)(x - 1) = 0.

x + 6 = 0 або x - 1 = 0.

x = -6 або x = 1.

Тепер побудуємо знакову таблицю для виразу (x^2 + 5x - 6):

| Знак виразу | x-інтервал |
|----------------|--------------|
| + | x < -6 |
| - | -6 < x < 1 |
| + | x > 1 |

Таким чином, розв'язком нерівності є значення x, для яких вираз (x^2 + 5x - 6) має від'ємний знак, тобто -6 < x < 1.

Отже, розв'язком нерівності є -6 < x < 1.