Помогите пожалуйста решить задачу по геометрии. Основанием прямой призмы является ромб с острым углом 30°. Боковые грани призмы - квадраты. Площадь полной поверхности призмы равна 60 см2. Найдите площадь круга, вписанного в основание данной призмы.
Ответы
Ответ:
Площадь круга, вписанного в основание данной призмы равна 3π/4 см².
Объяснение:
Основанием прямой призмы является ромб с острым углом 30°. Боковые грани призмы - квадраты. Площадь полной поверхности призмы равна 60 см2. Найдите площадь круга, вписанного в основание данной призмы.
Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямая призма;
ABCD - ромб; ∠ВАD = 30°;
Боковые грани - квадраты;
Sпп = 60 см²
Окр.О - вписана в ABCD.
Найти: Sкр
Решение:
Проведем высоту ВН.
Пусть AB = a см.
У ромба все стороны равны. Боковые грани - квадраты.
⇒ все ребра равны а см.
- Площадь полной поверхности призмы равна:
Sпп = Sбок + 2Sосн
- Площадь боковой поверхности призмы равна:
Sбок = Росн · h,
где h - высота призмы.
Pосн = Р(ABCD) = 4a см; h = AA₁ = a см.
Sбок = 4а · а = 4а² (см²)
Sромба = а² · sinα,
где а - сторона ромба, α - угол между этими сторонами.
Sосн = S(ABCD) = a² · sin 30° = a²/2 (см²)
Sпп = 4а² + 2 · а²/2 = 5а²
60 = 5а² |:5
a² = 12 ⇒ a = 2√3 см
Рассмотрим ΔАВН - прямоугольный.
∠АВН = 30°
- Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
⇒ ВН = АВ : 2 = √3 (см)
- Площадь круга равна:
Sкр = πr²
- Высота ромба равна диаметру вписанной окружности.
- Радиус равен половине диаметра.
⇒ r = OE = BH : 2 = √3/2 (см)
Sкр = π · 3/4 = 3π/4 (см²)
Площадь круга, вписанного в основание данной призмы равна 3π/4 см².
