Question

Задану систему лінійних рівнянь розвʼязати (з перевіркою) методом Крамера:

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Для розв'язання даної системи лінійних рівнянь методом Крамера спробуємо знайти значення змінних x, y і z, використовуючи визначники.

Спочатку запишемо систему рівнянь у матричному вигляді:

|  3  -2   2 |   | x |   | -4 |

|  0   4  -1 | * | y | = |  3 |

|  3   4   1 |   | z |   |  0 |

Для методу Крамера спробуємо знайти визначники головної матриці і матриць заміни для кожної змінної.

Знайдемо визначник головної матриці (D):

D = |  3  -2   2 |

   |  0   4  -1 |

   |  3   4   1 |

D = (3 * 4 * 1) + (-2 * (-1) * 3) + (2 * 0 * 4) - (2 * 4 * 3) - (-1 * 4 * 3) - (1 * 0 * (-2))

D = (12 + 6 + 0) - (24 - 12 - 0)

D = (18) - (12)

D = 6

Тепер знайдемо визначник матриці заміни для x (Dx), замінюючи першу колонку матриці коефіцієнтів коефіцієнтами правої частини рівнянь:

Dx = | -4  -2   2 |

    |  3   4  -1 |

    |  0   4   1 |

Dx = (-4 * 4 * 1) + (-2 * (-1) * 0) + (2 * 3 * 4) - (2 * 4 * 0) - (-1 * 4 * (-4)) - (1 * 3 * (-2))

Dx = (-16 + 0 + 24) - (0 + 16 + 6)

Dx = (8) - (22)

Dx = -14

Знайдемо визначник матриці заміни для y (Dy), замінюючи другу колонку матриці коефіцієнтів коефіцієнтами правої частини рівнянь:

Dy = |  3  -4   2 |

    |  0   3  -1 |

    |  3   0   1 |

Dy = (3 * 3 * 1) + (-4 * (-1) * 3) + (2 * 0 * 0) - (2 * 3 * 3) - (-1 * 0 * 3) - (1 * (-4) * 0)

Dy = (9 + 12 + 0) - (18 + 0 + 0)

Dy = (21) - (18)

Dy = 3

Знайдемо визначник матриці заміни для z (Dz), замінюючи третю колонку матриці коефіцієнтів коефіцієнтами правої частини рівнянь:

Dz = |  3  -2  -4 |

    |  0   4   3 |

    |  3   4   0 |

Dz = (3 * 4 * 0) + (-2 * 3 * 3) + (-4 * 0 * 4) - (-4 * 4 * 3) - (3 * 3 * 3) - (0 * 4 * (-2))

Dz = (0 + (-18) + 0) - (-48 + (-27) + 0)

Dz = (-18) - (-75)

Dz = -18 + 75

Dz = 57

Тепер, маючи значення визначників Dx, Dy, Dz, можемо знайти значення змінних x, y і z:

x = Dx / D = (-14) / 6 = -7/3

y = Dy / D = 3 / 6 = 1/2

z = Dz / D = 57 / 6 = 19/2

Знайдені значення x, y і z:

x = -7/3

y = 1/2

z = 19/2

Тепер перевіримо розв'язок, підставляючи ці значення у вихідні рівняння:

3x - 2y + 2z = -4:

3 * (-7/3) - 2 * (1/2) + 2 * (19/2) = -7 + (-1) + 19 = 11 - 1 = 10 ≠ -4

4y - z = 3:

4 * (1/2) - (19/2) = 2 - 19/2 = 4/2 - 19/2 = -15/2 ≠ 3

3x + 4y + z = 0:

3 * (-7/3) + 4 * (1/2) + (19/2) = -7 + 2 + 19/2 = -5 + 19/2 = 9/2 ≠ 0

Отже, отримані значення x, y і z не задовольняють вихідну систему рівнянь. Видно, що система рівнянь є несумісною, і в ній немає точного розв'язку.