Question

очень срочно нужно эти задания

Answer 1

1. Виконайте дії:

Розіб'єймо вираз на дві частини:

1) $\frac{2+3 i}{5-2 i}$

2) $(i-1)^{2} \cdot i^{4}$

1. Обчислимо значення виразу $\frac{2+3 i}{5-2 i}$:

Це комплексне число, яке ми можемо обчислити, помноживши чисельник і знаменник на спряжене число до знаменника. Спряжене число до $5-2i$ є $5+2i$

Маємо:

$\[\frac{2+3 i}{5-2 i} = \frac{2+3 i}{5-2 i} \cdot \frac{5+2 i}{5+2 i} = \frac{(2+3 i)(5+2 i)}{(5-2 i)(5+2 i)}\]$ $\[= \frac{10+4i+15i+6i^{2}}{25+10i-10i-4i^{2}}\]$

Оскільки $i^{2} = -1$, маємо:

$\[= \frac{10+19i-6}{25-4} = \frac{4+19i}{21}\]$

Отже, $\frac{2+3 i}{5-2 i} = \frac{4+19i}{21}$

2. Обчислимо значення виразу $(i-1)^{2} \cdot i^{4}$:

Спочатку обчислимо значення $(i-1)^{2}$:

$\[(i-1)^{2} = (i^{2}-2i+1) = (-1-2i+1) = -2i\]$

Тепер обчислимо значення $i^{4}$:

$\[i^{4} = (i^{2})^{2} = (-1)^{2} = 1\]$

Множимо отримані результати:

$\[(i-1)^{2} \cdot i^{4} = -2i \cdot 1 = -2i\]$

Додамо отримані результати:

$\[\frac{2+3 i}{5-2 i}+(i-1)^{2} \cdot i^{4} = \frac{4+19i}{21} - 2i\]$

Щоб додати ці числа, ми повинні перетворити $-2i$ в дріб, множачи його на $\frac{21}{21}$:

$\[= \frac{4+19i}{21} - \frac{42i}{21} = \frac{4+19i-42i}{21} = \frac{4-23i}{21}\]$

Отже, $\frac{2+3 i}{5-2 i}+(i-1)^{2} \cdot i^{4} = \frac{4-23i}{21}$

2. Запишіть число в тригонометричній формі та знайдіть всі значення:

Знайдемо тригонометричну форму числа $z_{1}=-81$:

$z=r(\cos{\phi}+i\sin{\phi})$, де $r$ - модуль числа, а $\phi$ - аргумент числа.

В цьому випадку, $z_{1}=-81$ є реальним числом, тому його можна записати як $-81 + 0i$. Тоді $r=\sqrt{(-81)^2+0^2}=81$ і $\phi=\arctan{\frac{0}{-81}}=0$, але оскільки число від'ємне, то $\phi=\pi$

Отже, тригонометрична форма числа $z_{1}$ буде $z_{1}=81(\cos{\pi}+i\sin{\pi})$.

Знайдемо всі значення $\sqrt[4]{z_{1}}$

За формулою Муавра для коренів комплексного числа, якщо $z=r(\cos{\phi}+i\sin{\phi})$, то $n$-тий корінь з $z$ можна знайти за формулою:

$z_k=\sqrt[n]{r}(\cos{\frac{\phi+2\pi k}{n}}+i\sin{\frac{\phi+2\pi k}{n}})$, де $k=0,1,2,...,n-1$.

В цьому випадку, $n=4$, $r=81$, $\phi=\pi$
Підставимо значення:

$z_k=\sqrt[4]{81}(\cos{\frac{\pi+2\pi k}{4}}+i\sin{\frac{\pi+2\pi k}{4}})$, де $k=0,1,2,3$

Четверті корені числа $z_{1}$ будуть:

$z_0=\sqrt[4]{81}(\cos{\frac{\pi}{4}}+i\sin{\frac{\pi}{4}})$

$z_1=\sqrt[4]{81}(\cos{\frac{3\pi}{4}}+i\sin{\frac{3\pi}{4}})$

$z_2=\sqrt[4]{81}(\cos{\frac{5\pi}{4}}+i\sin{\frac{5\pi}{4}})$

$z_3=\sqrt[4]{81}(\cos{\frac{7\pi}{4}}+i\sin{\frac{7\pi}{4}})$

3. Зобразіть множину точок комплексної площини:
Перепишемо вираз як $\operatornam{Re}\left(\frac{1}{z}\right)=2$ (для більшої зручності)

Ми знаємо, що комплексне число $z$ можна представити у вигляді $z = x + iy$, де $x$ та $y$ - це дійсні числа, а $i$ - це уявна одиниця. Тоді $\frac{1}{z} = \frac{1}{x + iy}$

Для того, щоб поділити комплексне число, ми можемо помножити чисельник та знаменник на спряжене число до знаменника, тобто на $x - iy$. Тоді:

$\[\frac{1}{z} = \frac{1}{x + iy} = \frac{x - iy}{(x + iy)(x - iy)} = \frac{x - iy}{x^2 + y^2}\]$

Тепер ми можемо виразити дійсну частину отриманого числа:

$\[\operatornam{Re}\left(\frac{1}{z}\right) = \operatornam{Re}\left(\frac{x - iy}{x^2 + y^2}\right) = \frac{x}{x^2 + y^2}\]$

Отже, початкове рівняння $\operatornam{Re}\left(\frac{1}{z}\right)=2$ переписується у вигляді $\frac{x}{x^2 + y^2} = 2$

Далі, ми можемо переписати це рівняння у вигляді $x = 2x^2 + 2y^2$, або $2x^2 + 2y^2 - x = 0$

Це рівняння представляє собою рівняння кола на комплексній площині з центром у точці $(0.5, 0)$ та радіусом $\sqrt{0.5^2 + 0^2} = 0.5$.

Отже, множина точок комплексної площини, які задовольняють умову $\operatornam{Re}\left(\frac{1}{z}\right)=2$, представляє собою коло з центром у точці $(0.5, 0)$ та радіусом $0.5$