Question

Знайдіть суму п'ятнадцяти перших членів геометричної прогресії:
a) 1, 2, 4, 8, ...;
б) 1024, 512, 256, ...;
B) 1, -2, 4, -8, ...;
г) 1024, -512, 256, ...
БУДЬ ЛАСКА ДОПОМОЖІТЬ ДУЖЕ ТРЕБА СРОЧНО!!! ​

Answer 1

Для знаходження суми перших n членів геометричної прогресії можна використовувати формулу:

S
n
=
a
1
⋅
(
1
−
r
n
)
1
−
r
,
S
n
​
=
1−r
a
1
​
⋅(1−r
n
)
​
,

де:

S
n
S
n
​
- сума перших n членів прогресії,
a
1
a
1
​
- перший член прогресії,
r
r - знаменник прогресії,
n
n - кількість членів, суму яких ми шукаємо.
Давайте застосуємо цю формулу до кожного із запитаних прикладів:

a) 1, 2, 4, 8, ...

Тут
a
1
=
1
a
1
​
=1 (перший член прогресії), і
r
=
2
r=2 (знаменник прогресії, кожний наступний член удвічі більший за попередній).

Для суми перших 15 членів отримуємо:

S
15
=
1
⋅
(
1
−
2
15
)
1
−
2
=
1
⋅
(
1
−
32768
)
−
1
=
−
32767
−
1
=
32767.
S
15
​
=
1−2
1⋅(1−2
15
)
​
=
−1
1⋅(1−32768)
​
=
−1
−32767
​
=32767.

Таким чином, сума перших 15 членів цієї прогресії дорівнює 32767.

б) 1024, 512, 256, ...

Тут
a
1
=
1024
a
1
​
=1024 і
r
=
1
2
r=
2
1
​
(знаменник прогресії, кожний наступний член удвічі менший за попередній).

S
15
=
1024
⋅
(
1
−
(
1
2
)
15
)
1
−
1
2
=
1024
⋅
(
1
−
1
32768
)
1
2
=
1024
⋅
32767
32768
1
2
=
1024
⋅
65534
32768
=
2048.
S
15
​
=
1−
2
1
​

1024⋅(1−(
2
1
​
)
15
)
​
=
2
1
​

1024⋅(1−
32768
1
​
)
​
=
2
1
​

1024⋅
32768
32767
​

​
=1024⋅
32768
65534
​
=2048.

Отже, сума перших 15 членів цієї прогресії дорівнює 2048.

в) 1, -2, 4, -8, ...

Тут
a
1
=
1
a
1
​
=1 і
r
=
−
2
r=−2 (знаменник прогресії, кожний наступний член прогресії має протилежний знак від попереднього).

S
15
=
1
⋅
(
1
−
(
−
2
)
15
)
1
−
(
−
2
)
=
1
⋅
(
1
−
(
−
32768
)
)
1
+
2
=
1
⋅
(
1
+
32768
)
3
=
32769
3
=
10923.
S
15
​
=
1−(−2)
1⋅(1−(−2)
15
)
​
=
1+2
1⋅(1−(−32768))
​
=
3
1⋅(1+32768)
​
=
3
32769
​
=10923.

Отже, сума перших 15 членів цієї прогресії дорівнює 10923.

г) 1024, -512, 256, ...

Тут
a
1
=
1024
a
1
​
=1024 і
r
=
−
1
2
r=−
2
1
​
(знаменник прогресії, кожний наступний член прогресії має протилежний знак від попереднього).

S
15
=
1024
⋅
(
1
−
(
−
1
2
)
15
)
1
−
(
−
1
2
)
=
1024
⋅
(
1
−
1
32768
)
3
2
=
1024
⋅
32767
32768
3
2
=
1024
⋅
65534
49152
=
32768
3
.
S
15
​
=
1−(−
2
1
​
)
1024⋅(1−(−
2
1
​
)
15
)
​
=
2
3
​

1024⋅(1−
32768
1
​
)
​
=
2
3
​

1024⋅
32768
32767
​

​
=1024⋅
49152
65534
​
=
3
32768
​
.

Отже, сума перших 15 членів цієї прогресії дорівнює
32768
3
3
32768
​
або приблизно 10922.67 (округлено до двох десяткових знаків).

Отже, суми перших 15 членів зазначених геометричних прогресій:
а) 32767;
б) 2048;
в) 10923;
г) близько 10922.67.