Question

19. Если tgα = -2, TO найдите sin2α, cos2a, tg2a, ctg2a.​

Answer 1

Ответ:

$\sin 2\alpha =-\dfrac{4 }{5};\ \cos 2\alpha =-\dfrac{3 }{5};$

$\mathrm{tg}\, 2\alpha =\dfrac{4}{3};\ \mathrm{ctg}\, 2\alpha =\dfrac{3}{4}$

Решение:

Синус и косинус найдем, воспользовавшись универсальной тригонометрической подстановкой:

$\sin 2\alpha =\dfrac{2\,\mathrm{tg}\alpha }{1+\mathrm{tg}^2\alpha }=\dfrac{2\cdot(-2) }{1+(-2)^2}=\dfrac{-4 }{1+4}=\boxed{-\dfrac{4 }{5}}$

$\cos 2\alpha =\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\alpha }{1+\mathrm{tg}^2\alpha }=\dfrac{1-(-2)^2 }{1+(-2)^2 }=\dfrac{1-4 }{1+4}=\boxed{-\dfrac{3 }{5}}$

Тангенс найдем как отношение синуса к косинусу:

$\mathrm{tg}\, 2\alpha =\dfrac{\sin\alpha }{\cos\alpha }=-\dfrac{4}{5} :\left(-\dfrac{3}{5} \right)=\boxed{\dfrac{4}{3}}$

Котангенс найдем как величину, обратную тангенсу:

$\mathrm{ctg}\, 2\alpha =\dfrac{1 }{\mathrm{tg}\, 2\alpha }=1:\dfrac{4}{3}=\boxed{\dfrac{3}{4}}$

Элементы теории:

Универсальная тригонометрическая подстановка:

$\sin x=\dfrac{2\,\mathrm{tg}\dfrac{x}{2}}{1+\mathrm{tg}^2\dfrac{x}{2}}$

$\cos x=\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\dfrac{x}{2}}{1+\mathrm{tg}^2\dfrac{x}{2}}$