Question

ДОПОМОЖІТЬ ДАЮ 50 БАЛІВ, ВИРІШИТИ НА РІВНІ 9 КЛАСУ

Answer 1

Ответ:

Объяснение

$1)m^2+n^2+4\geq mn+2m+2n\\m^2-2m+1+n^2-2n+1+2\geq mn\\(m-1)^2+(n-1)^2+2\geq mn\\(m-1)^2+(n-1)^2+2-mn\geq 0\\2)m^2+mn+n^2+2m-2n\geq -4\\m^2+2m+1+n^2-2n+1+mn+2\geq 0\\(m+1)^2+(n-1)^2+mn-2\geq0$

в обоих неравенствах будет выполнять неравенство так как квадраты  растут быстрее чем произведения m*n

Answer 2

1)

$m^2+n^2+4 \ge mn+2m+2n$

$m^2+n^2+4-mn-2m-2n \ge 0\ \ \ |\cdot 4$

$4m^2+4n^2+16-4mn-8m-8n \ge 0$

$(4m^2-4mn+n^2)-8m+3n^2-8n+16 \ge 0$

$(2m-n)^2-8m+4n+4-8m+3n^2-12n+12 \ge 0$

$(2m-n)^2-4(2m-n)+2^2+3(n^2-4n+4) \ge 0$

$(2m-n-2)^2+3(n-2)^2 \ge 0$

сума від’ємних чисел є невід’ємним числом

2)

$m^2+mn+n^2+2m-2n \ge -4$

$m^2+mn+n^2+2m-2n+4 \ge 0\ \ \ |\cdot 2$

$2m^2+2mn+2n^2+4m-4n+8 \ge 0$

$(m^2+4m+4)+(n^2-4n+4)+(m^2 + 2mn + n^2) \ge 0$

$(m+2)^2+(n-2)^2+(m+n)^2 \ge 0$

сума від’ємних чисел є невід’ємним числом