Вершины A и B треугольника ABC лежат по одну сторону от плоскости a, а вершина C - по другую. Докажите, что точки пересечения сторон BC и AC и медиана CM с плоскостью a лежат на одной прямой.
И чертёж, пожалуйста
Ответы
Для доказательства того, что точки пересечения сторон BC и AC и медиана CM лежат на одной прямой, воспользуемся теоремой Чевы.
Предположим, что точки пересечения сторон BC и AC обозначены как P, а точка пересечения медианы CM с плоскостью a обозначена как Q. Нам нужно доказать, что точки P, Q и M лежат на одной прямой.
Согласно теореме Чевы, для того чтобы доказать, что точки P, Q и M лежат на одной прямой, необходимо и достаточно показать, что:
AP/PC * CQ/QB * BM/MA = 1
Из условия задачи известно, что вершина C лежит по одну сторону от плоскости a, а вершины A и B - по другую. Это означает, что точки P и Q лежат на отрезках BC и CM соответственно.
Таким образом, мы можем записать соотношение длин:
AP/PC = BP/PB (по теореме об отношении длин относительно пересекающихся прямых)
CQ/QB = MQ/QM (по теореме об отношении длин относительно пересекающихся прямых)
BM/MA = 1 (по определению медианы)
Теперь мы можем записать равенство:
AP/PC * CQ/QB * BM/MA = BP/PB * MQ/QM * 1 = BP/PB * MQ/QM
Заметим, что BP/PB * MQ/QM = 1, так как точка P лежит на отрезке BC, а точка Q лежит на отрезке CM, и они пересекаются в точке M.
Таким образом, мы получаем:
AP/PC * CQ/QB * BM/MA = 1
Это означает, что точки P, Q и M лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.
Чертеж:
```
A
/ \
/ \
/ \
B-------C
/
/
M
/
/
Q
|
|_________________
Плоскость a
```
На чертеже A, B, C - вершины треугольника ABC, M - точка пересечения медианы CM с плоскостью a, Q - точка пересечения стороны AC с плоскостью a.
Проведём прямую через точку C и точку пересечения медианы CM с плоскостью a. Эта прямая будет перпендикулярна плоскости a, так как медиана делит треугольник пополам и, следовательно, является биссектриссой угла C.
Проведём прямые через точки пересечения сторон BC и AC с плоскостью a. Эти прямые будут параллельны плоскости a, так как они перпендикулярны к одной прямой, а значит, параллельны друг другу.
Так как прямые, параллельные плоскости a, пересекаются с перпендикуляром к этой плоскости, то точки их пересечения лежат на одной прямой.
Чертёж:
a
/
/
/
/
/
C
/
\
/ \
B A
В данном случае точка пересечения сторон BC и AC с плоскостью a совпадает с точкой пересечения медианы CM с плоскостью a.
Обобщение:
Если точка C лежит по другую сторону от плоскости a, чем точки A и B, то медиана CM пересекает плоскость a в точке, которая лежит на прямой, соединяющей точки пересечения сторон BC и AC с плоскостью a.
Доказательство:
Проведём прямую через точку C и точку пересечения медианы CM с плоскостью a. Эта прямая будет перпендикулярна плоскости a, так как медиана делит треугольник пополам и, следовательно, является биссектриссой угла C.
Проведём прямые через точки пересечения сторон BC и AC с плоскостью a. Эти прямые будут параллельны плоскости a, так как они перпендикулярны к одной прямой, а значит, параллельны друг другу.
Так как прямые, параллельные плоскости a, пересекаются с перпендикуляром к этой плоскости, то точки их пересечения лежат на одной прямой.
Так как точка C лежит по другую сторону от плоскости a, чем точки A и B, то точка пересечения медианы CM с плоскостью a лежит на стороне BC или AC.
Следовательно, точки пересечения сторон BC и AC с плоскостью a и точка пересечения медианы CM с плоскостью a лежат на одной прямой.