Question

Как найти производную подобной функции???
(sin2x)^5^(2x)
Нашла формулу u^f(x) = e^(f(x)*ln(u)), но не могу разобраться откуда ее можно вывести. Если решать с помощью этой формулы, то ответ получаю верный, вроде

Answer 1

Да, вы правильно нашли формулу для вычисления производной функции вида $u^{f(x)}$

Ваша функция имеет вид $(\sin2x)^{5^{2x}}$. Для упрощения вычислений, мы можем применить формулу, которую вы нашли, и записать функцию в виде $e^{5^{2x}\ln(\sin2x)}$

Теперь мы можем вычислить производную этой функции. Для этого нам понадобятся следующие формулы:

1. Производная от $e^{f(x)}$ равна $f'(x)e^{f(x)}$

2. Производная от $f(x)g(x)$ равна $f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$.

3. Производная от $\ln(f(x))$ равна $\frac{f'(x)}{f(x)}$.

Используя эти формулы, мы получим:

$\frac{d}{dx}$$e^{5^{2x}\ln(\sin2x)}$ = $e^{5^{2x}\ln(\sin2x)} \cdot \frac{d}{dx}(5^{2x}\ln(\sin2x)).$

Теперь нам нужно вычислить производную от $5^{2x}\ln(\sin2x)$
Используя вторую формулу, мы получим:

$\frac{d}{dx}(5^{2x}\ln(\sin2x)) = 5^{2x}\ln(5)\cdot\frac{d}{dx}2x + 5^{2x}\cdot\frac{d}{dx}\ln(\sin2x)$

Теперь нам нужно вычислить производную от $\ln(\sin2x)$
Используя третью формулу, мы получим:

$\frac{d}{dx}\ln(\sin2x) = \frac{1}{\sin2x}\cdot\frac{d}{dx}\sin2x = \frac{2\cos2x}{\sin2x}$

Подставив все полученные значения в исходное выражение, мы получим производную исходной функции.

Теперь подставим значения в выражение для производной от $5^{2x}\ln(\sin2x)$:

$\frac{d}{dx}(5^{2x}\ln(\sin2x)) = 5^{2x}\ln(5)\cdot2 + 5^{2x}\cdot\frac{2\cos2x}{\sin2x}$

Теперь подставим это значение в выражение для производной исходной функции:

$\frac{d}{dx}e^{5^{2x}\ln(\sin2x)} = e^{5^{2x}\ln(\sin2x)} \cdot \left(5^{2x}\ln(5)\cdot2 + 5^{2x}\cdot\frac{2\cos2x}{\sin2x}\right)$

Вернемся к исходной записи функции:

$$$\frac{d}{dx}(\sin2x)^{5^{2x}} = (\sin2x)^{5^{2x}} \cdot \left(5^{2x}\ln(5)\cdot2 + 5^{2x}\cdot\frac{2\cos2x}{\sin2x}\right)$.$$

Это и есть производная исходной функции.