Question

Даю 100 балов помогите пожалуйста

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

розв'язання завдання додаю

Answer 2

4) Піднести до степеня:

а) $\left(\sqrt[3]{4 x^{2}}\right)^{2}$

$(4x^2)^{\frac{2}{3}}$

$(4x^2)^{\frac{2}{3}} &= 4^{\frac{2}{3}} \cdot (x^2)^{\frac{2}{3}}$

$&= 4^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{4}{3}}$

$&= \sqrt[3]{4^2} \cdot x^{\frac{4}{3}}$

$&= \sqrt[3]{16} \cdot x^{\frac{4}{3}}$

$&= 2\sqrt[3]{2} \cdot x^{\frac{4}{3}}\end{align*}$

б) $\left(2 \sqrt[3]{3 x^{2}}\right)^{3}$

$(2(3x^2)^{\frac{1}{3}})^3$

$(2(3x^2)^{\frac{1}{3}})^3 &= 2^3 \cdot (3x^2)^1$

$&= 8 \cdot 3x^2$

$&= 24x^2\end{align*}$

в) $\left(a^{2} x \sqrt[3]{3 a^{2} x}\right)^{4}$

$(a^2x(3a^2x)^{\frac{1}{3}})^4$

$(a^2x(3a^2x)^{\frac{1}{3}})^4 &= (a^2)^4 \cdot x^4 \cdot (3a^2x)^{\frac{4}{3}}$

$&= a^8 \cdot x^4 \cdot 3^{\frac{4}{3}} \cdot (a^2x)^{\frac{4}{3}}$

$&= a^8 \cdot x^4 \cdot 3^{\frac{4}{3}} \cdot a^{\frac{8}{3}} \cdot x^{\frac{4}{3}}$

$&= a^{8 + \frac{8}{3}} \cdot x^{4 + \frac{4}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}}$

$&= a^{\frac{32}{3}} \cdot x^{\frac{16}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}}\end{align*}$

г) $(\sqrt[6]{2}-\sqrt{2})^{2}$

$(2^{\frac{1}{6}} - 2^{\frac{1}{2}})^2$

$(2^{\frac{1}{6}} - 2^{\frac{1}{2}})^2 &= (2^{\frac{1}{6}})^2 - 2 \cdot 2^{\frac{1}{6}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} + (2^{\frac{1}{2}})^2$

$&= 2^{\frac{2}{6}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{6 + 1/2}} + 2^1$

$&= 2^{\frac{1}{3}} - 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} + 2$

5) Спростити:

а) $\frac{2 \sqrt[6]{4 \sqrt{2}}}{\sqrt[4]{8 \sqrt[3]{4}}}$

Ми можемо переписати $4\sqrt{2}$ як $4*2^{1/2}$, а потім як $2^{2+1/2}=2^{5/2}$. Таким чином, чисельник стає $2 \sqrt[6]{2^{5/2}}$.

Ми можемо переписати $8\sqrt[3]{4}$ як $8*4^{1/3}$, а потім як $2^{3}*2^{1/3}=2^{10/3}$. Таким чином, знаменник стає $\sqrt[4]{2^{10/3}}$.

$2*2^{(5/2)*(1/6)}=2*2^{5/12}$.

$2^{(10/3)*(1/4)}=2^{5/6}$.

Отже, вираз стає $2*2^{5/12}/2^{5/6}=2^{1+5/12-5/6}=2^{1+1/4-1/2}=2^{3/4}$.

б) $\left(\frac{\sqrt[3]{9 \sqrt{3}}}{\sqrt{\sqrt[3]{3}}}\right)^{3}$

Ми можемо переписати $9\sqrt{3}$ як $9*3^{1/2}$, а потім як $3^{2+1/2}=3^{5/2}$. Таким чином $\sqrt[3]{3^{5/2}}$

$3^{(1/3)*(1/2)}=3^{1/6}$

Отже, вираз стає $\left(\frac{\sqrt[3]{3^{5/2}}}{3^{1/6}}\right)^{3}=\left(3^{(5/2)*(1/3)-1/6}\right)^{3}=3^{(5/6-1/6)*3}=3^{4/2}=3^{2}$

6) Записати степінь з дробовим показником у вигляді кореня:

a) $7^{\frac{1}{2}}$;

Степінь з дробовим показником можна записати у вигляді кореня. Якщо показник степені - це дріб $\frac{1}{n}$, то це еквівалентно $n$-му кореню. Тобто, $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$.

Отже, $7^{\frac{1}{2}}$ можна записати як $\sqrt{7}$.

б) $5^{\frac{2}{3}}$;

Тут маємо дробовий показник $\frac{2}{3}$. Це можна розглядати як "взяти кубічний корінь, а потім піднести до квадрату". Тобто, $5^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{5}\right)^2$

в) $10^{-\frac{1}{4}}$;

Тут маємо від'ємний дробовий показник. Від'ємна степінь означає обернене значення. Тобто, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Також, як і в попередніх випадках, показник $\frac{1}{4}$ означає четвертий корінь. Отже, $10^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{10}}$