Знайдіть проміжки зростання і спадання функції f(x)=-x²+8x-12.
Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснение:
Для знаходження проміжків зростання і спадання функції f(x) = -x² + 8x - 12, спершу знайдемо похідну цієї функції і визначимо її поведінку.
Знайдемо похідну:
f'(x) = d/dx (-x² + 8x - 12)
Використовуючи правило диференціювання для кожного з членів функції, отримаємо:
f'(x) = -2x + 8
Тепер визначимо точки, в яких похідна f'(x) дорівнює нулю, оскільки ці точки вказують на можливі місця зміни напрямку функції:
-2x + 8 = 0
Розв'яжемо це рівняння:
-2x = -8
x = 4
Таким чином, точка x = 4 є точкою перегину, де функція змінює свій напрямок.
Оцінимо знак похідної f'(x) на інтервалах навколо точки x = 4:
a) Для x < 4:
Якщо виберемо x = 3 (менше за 4), то f'(3) = -2 * 3 + 8 = 2. Похідна додатня, отже, функція зростає на цьому інтервалі.
b) Для 4 < x:
Якщо виберемо x = 5 (більше за 4), то f'(5) = -2 * 5 + 8 = -2. Похідна від'ємна, отже, функція спадає на цьому інтервалі.
Отже, ми можемо визначити проміжки зростання і спадання функції f(x) = -x² + 8x - 12:
Функція зростає на інтервалі (-∞, 4).
Функція спадає на інтервалі (4, +∞).
Це означає, що графік функції спочатку зростає до точки перегину (x = 4), а потім спадає після цієї точки.