Question

Математический Анализ! ДАЮ 100 баллов

ПРИМЕР (Г)

Доказать равенство используя метод математической индукции

Не могу понять как дальше работать с n-1

Прошу полностью расписать ответ.

Answer 1

База индукции: При $\tt n=1$, левая часть равенства равна 0, так как сумма пуста. Правая часть равенства также равна 0. Таким образом, утверждение верно для $\tt n=1$.

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого $\tt n=k$, то есть: $\displaystyle \tt \sum^{k-1}_{i=1} i(i+1) = \dfrac{(k-1)k(k+1)}{3}$

Теперь докажем, что утверждение верно и для $\tt n=k+1$. Для этого добавим к обеим частям равенства слагаемое $\tt k(k+1)$:

$\displaystyle \tt \sum^{k-1}_{i=1} i(i+1) +k(k+1) = \dfrac{(k-1)k(k+1)}{3}+k(k+1)$

$\tt \displaystyle \sum^{k}_{i=1} i(i+1) = \dfrac{(k-1)k(k+1)}{3}+k(k+1)$

Правую часть можно привести к общему знаменателю и упростить:

$\tt \displaystyle \sum^{k}_{i=1} i(i+1) =k(k+1)\left( \dfrac{k-1}{3}+1\right)=\dfrac{(k+1)k(k+2)}{3}$

Таким образом, если утверждение верно для n=k, то оно верно и для $\tt n=k+1$.

Исходя из принципа математической индукции, утверждение верно для всех натуральных чисел n.

******************************************************************************************

Если вам трудно воспринимать индукционный переход, то можно сделать упрощение следующим образом

При $\tt n={k+1}$ имеем:

$\tt \displaystyle \sum^{k}_{i=1}i(i+1)=\dfrac{k(k+1)(k+2)}{3}\\ \\ \sum^{k-1}_{i=1}i(i+1)+k(k+1)=\dfrac{k(k+1)(k+2)}{3}$

$\tt \dfrac{(k-1)k(k+1)}{3}+k(k+1)=\dfrac{k(k+1)(k+2)}{3}\\ \\ \dfrac{k(k+1)(k+2)}{3}=\dfrac{k(k+1)(k+2)}{3}$