1. Спростіть вираз (7а+2b)^2-(за-b) (4а +5b).
2. Розкладіть на множники:
1) 36m^2n^3-49m^4n;
2) 50+20х+2х^2.
3. Графік функції у = kx + b перетинає осі координат у точ- ках А (2; 0) і В (0; -4). Знайдіть значення k i b.
4. Розв'яжіть систему рівнянь {3x-y=17
{2x+3y=-7.
5. Знайдіть чотири послідовних натуральних числа таких, що добуток другого та четвертого із цих чисел на 31 біль- ший за добуток першого та третього.
6. Розв'яжіть рівняння x^2 + y^2 -8х+12y+52=0. +1
Ответы
1. Спростіть вираз (7а+2b)^2-(за-b) (4а +5b).
Розкриваємо квадрат:
(7а+2b)^2 = (7а)^2 + 2 * (7а) * (2b) + (2b)^2 = 49а^2 + 28ab + 4b^2
Розкриваємо дужки:
(49а^2 + 28ab + 4b^2) - (4а + 5b) = 49а^2 + 28ab + 4b^2 - 4а - 5b
2. Розкладіть на множники:
1) 36m^2n^3-49m^4n:
36m^2n^3-49m^4n = (6mn)^2 - (7mn)^2 = (6mn - 7mn)(6mn + 7mn) = (mn)(-mn)(13mn) = -13m^2n^3
2) 50+20х+2х^2:
2х^2 + 20х + 50 = 2(х^2 + 10х + 25) = 2(х + 5)^2
3. Графік функції у = kx + b перетинає осі координат у точ- ках А (2; 0) і В (0; -4). Знайдіть значення k і b.
Точка А (2; 0) належить графіку функції, отже підставимо значення (2, 0) у рівняння функції:
0 = 2k + b
Точка В (0; -4) належить графіку функції, отже підставимо значення (0, -4) у рівняння функції:
-4 = 0 + b
b = -4
Замінюємо значення b у першому рівнянні:
0 = 2k - 4
2k = 4
k = 2
Отже, значення k = 2 і b = -4.
4. Розв'яжіть систему рівнянь:
{3x-y=17
{2x+3y=-7
Можна використати метод заміщення або метод додавання. Використаємо метод додавання:
3 * (2x + 3y) = -7 * 3
6x + 9y = -21
2 * (3x - y) = 17 * 2
6x - 2y = 34
При додаванні отримаємо:
6x + 9y + 6x - 2y = -21 + 34
12x + 7y = 13
Після розв'язування цього рівняння отримаємо:
12x = 13 - 7y
x = (13 - 7y)/12
Підставимо значення х у одне з початкових рівнянь:
3 * (13 - 7y)/12 - y = 17
39 - 21y - 12y = 204
-33y = 165
y = -5
Підставимо значення y у вираз для х:
x = (13 - 7*(-5))/12
x = 2
Отже, розв'язок системи рівнянь x = 2 і y = -5.
5. Знайдіть чотири послідовних натуральних числа таких, що добуток другого та четвертого із цих чисел на 31 більший за добуток першого та третього.
Позначимо послідовні числа як n, n+1, n+2, n+3.
За умовою задачі:
(n+1)(n+3) - n(n+2) = 31
(n^2 + 4n + 3) - (n^2 + 2n) = 31
4n + 3 - 2n = 31
2n = 28
n = 14
Чотири послідовних натуральних числа: 14, 15, 16, 17.
6. Розв'яжіть рівняння x^2 + y^2 -8x+12y+52=0.
Перетворимо рівняння, щоб отримати квадратичний тричлен у вигляді повного квадрату:
x^2 - 8x + y^2 + 12y + 52 = 0
(x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 12y + 36) + 52 - 16 - 36 = 0
(x - 4)^2 + (y + 6)^2 = 0
Отже, розв'язком рівняння є точка (4, -6).