. Скільки існує трицифрових чисел, для кожного з яких знайдеться таке шестицифрове число, що є повним квадратом і чиї перші три цифри в даному порядку
утворюють саме це трицифрове число? (Перша цифра числа має бути відмінною
від нуля.)
Ответы
Розглянемо можливі варіанти трицифрових чисел, для яких можна знайти шестицифрове число, що є повним квадратом і має перші три цифри, що утворюють саме це трицифрове число.
За умовою задачі перша цифра числа має бути відмінною від нуля, тому можливі значення першої цифри - це числа від 1 до 9.
Далі розглянемо кожне з можливих значень першої цифри окремо і знайдемо кількість трицифрових чисел, що починаються з цієї цифри і задовольняють умову задачі.
1. Якщо перша цифра - 1, то ми шукаємо шестицифрове число, яке має перші три цифри 1 і є повним квадратом. Таке число можна записати у вигляді 100x^2, де x - двоцифрове число. Щоб отримати шестицифрове число, потрібно дописати до x чотири довільні цифри. Оскільки x може приймати значення від 10 до 31 (тому що 32^2 = 1024, що є більшим за 999), то кількість можливих трицифрових чисел для першої цифри 1 дорівнює 22 (для кожного з 22 значень x можна дописати чотири довільні цифри).
2. Аналогічно розглядаємо інші значення першої цифри:
- Для першої цифри 2 можна отримати 21 трицифрове число.
- Для першої цифри 3 можна отримати 20 трицифрових чисел.
- Для першої цифри 4 можна отримати 19 трицифрових чисел.
- Для першої цифри 5 можна отримати 18 трицифрових чисел.
- Для першої цифри 6 можна отримати 17 трицифрових чисел.
- Для першої цифри 7 можна отримати 16 трицифрових чисел.
- Для першої цифри 8 можна отримати 15 трицифрових чисел.
- Для першої цифри 9 можна отримати 14 трицифрових чисел.
Отже, загальна кількість трицифрових чисел, для кожного з яких знайдеться таке шестицифрове число, що є повним квадратом і має перші три цифри, що утворюють саме це трицифрове число, дорівнює:
22 + 21 + 20 + 19 + 18 + 17 + 16 + 15 + 14 = 162
Отже, існує 162 трицифрових чисел, для кожного з яких можна знайти шестицифрове число, що є повним квадратом і має перші три цифри, що утворюють саме це трицифрове число.