Question

найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке онлайн

Answer 1

1)

$f(x)=x^{\frac{1}{2}}$ - возрастающая функция

$f(1)=1^{\frac{1}{2}}=1$ - наименьшее значение

$f(4)=4^{\frac{1}{2}}=2$ - наибольшее значение

2)

$f(x)=x^{-\frac{1}{2}}$ - убывающая функция

$f(1)=1^{-\frac{1}{2}}=1$ - наибольшее значение

$f(8)=8^{-\frac{1}{2}}=(\frac{1}{8})^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt 8}=\frac{1}{2\sqrt 2}=\frac{\sqrt 2}{4}$ - наименьшее значение

3)

$f(x)=x^{\frac{2}{3}}$ - на отрезке [-8;-1] убывающая функция

$f(-8)=(-8)^{\frac{2}{3}}=((-8)^{\frac{1}{3}})^2=(-2)^2=4$ - наибольшее значение

$f(-1)=(-1)^{\frac{2}{3}}=1$- наименьшее значение

4)

$f(x)=x^{\frac{1}{4}}$- возрастающая  функция

$f(1)=1^{\frac{1}{4}}=1$ - наименьшее значение

$f(8)=16^{\frac{1}{4}}=(2^4)^{\frac{1}{4}}=2^1=2$ - наибольшее значение

Answer 2

Ответ:

Наибольшее и наименьшее значение функции .

$\bf 1)\ \ f(x)=x^{\frac{1}{2}}\ \ ,\ \ x\in [\ 1\ ;\ 4\ ]$  

На указанном сегменте функция монотонно возрастает, поэтому большему значению переменной  х  соответствует большее значение функции  f(x)  . Экстремумов внутри указанного сегмента нет .  

$\bf 1 < 4\ \ \Rightarrow \ \ \ f(1) < f(4)$  

Наименьшее значение функции  $\bf f(1)=1$  ,  

наибольшее значение  -  $\bf f(4)=4^{\frac{1}{2}}=2$  

$\bf 2)\ \ f(x)=x^{-\frac{1}{2}}\ \ ,\ \ x\in [\ 1\ ;\ 8\ ]$

На указанном сегменте функция монотонно убывает, поэтому большему значению переменной  х  соответствует меньшее значение функции  f(x)  . Экстремумов внутри указанного сегмента нет .  

$\bf 1 < 8\ \ \Rightarrow \ \ \ f(1) > f(8)$  

Наименьшее значение функции  $\bf f(8)=8^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2\sqrt2}$  ,  

наибольшее значение  -  $\bf f(1)=1^{-\frac{1}{2}}=1$  .

$\bf 3)\ \ f(x)=x^{\frac{2}{3}}\ \ ,\ \ x\in [\, -8\ ;-1\ ]$        

 На указанном сегменте функция монотонно убывает . Экстремумов внутри указанного сегмента нет .  

$\bf -8 < -1\ \ \Rightarrow \ \ f(-8) > f(-1)$

Наибольшее значение функции  $\bf f(-8)=\Big(-8\Big)^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{\bf (-8)^2}=\sqrt[3]{\bf 8^2}=\sqrt[3]{\bf 2^6}=2^2=4$  ,  

наименьшее значение  -    $\bf f(-1)=(-1)^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{\bf (-1)^2}=\sqrt[3]{\bf 1}=1$   .

$\bf 4)\ \ f(x)=x^{\frac{1}{4}}\ \ ,\ \ x\in [\ 1\ ;\ 16\ ]$

На указанном сегменте функция монотонно возрастает . Экстремумов внутри указанного сегмента нет .  

$\bf 1 < 16\ \ \Rightarrow \ \ f(1) < f(16)$

Наименьшее значение функции  $\bf f(1)=\Big(1\Big)^{\frac{1}{4}}=1$  ,  

наибольшее значение  -    $\bf f(16)=(16)^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{\bf 16}=\sqrt[4]{\bf 2^4}=2$   .