6. Найдите первообразную F(x) функции y = f(x), график который проходит через точку М(a; b): 1) f(x) = x−2, М(1; -1); 2) f(x) = x−3, М(-1; 0); = 1 3) f(x) = 2 - 4) f(x) = cos² x 2 sin² x 9 П x = 10; = M 2 4 2 (0:1), (75) 0; 2), M (; 4). + 1, x ∈ | 0; М
Ответы
Ответ:
Найдем первообразные для каждой из заданных функций и учтем условия, что график проходит через указанную точку \(M(a; b)\):
1) \(f(x) = x - 2\), \(M(1; -1)\):
Интегрируем \(f(x)\) по \(x\):
\[F(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x + C\]
Используя условие \(M(1; -1)\), подставим \(x = 1\) и \(y = -1\), чтобы найти константу \(C\):
\[-1 = \frac{1}{2}(1)^2 - 2(1) + C\]
\[-1 = \frac{1}{2} - 2 + C\]
\[C = \frac{1}{2}\]
Итак, первообразная с учетом условия \(M(1; -1)\) равна:
\[F(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x + \frac{1}{2}\]
2) \(f(x) = x - 3\), \(M(-1; 0)\):
Интегрируем \(f(x)\) по \(x\):
\[F(x) = \frac{1}{2}x^2 - 3x + C\]
Используя условие \(M(-1; 0)\), подставим \(x = -1\) и \(y = 0\), чтобы найти константу \(C\):
\[0 = \frac{1}{2}(-1)^2 - 3(-1) + C\]
\[0 = \frac{1}{2} + 3 + C\]
\[C = -\frac{7}{2}\]
Итак, первообразная с учетом условия \(M(-1; 0)\) равна:
\[F(x) = \frac{1}{2}x^2 - 3x - \frac{7}{2}\]
3) \(f(x) = 2 - x^2\):
Интегрируем \(f(x)\) по \(x\):
\[F(x) = 2x - \frac{1}{3}x^3 + C\]
4) \(f(x) = \cos^2(x) + 2\sin^2(x)\):
Используя тригонометрические тождества, можно преобразить выражение:
\[\cos^2(x) + 2\sin^2(x) = 1 - \sin^2(x) + 2\sin^2(x) = 1 + \sin^2(x)\]
Интегрируем \(1 + \sin^2(x)\) по \(x\):
\[F(x) = x - \frac{1}{2}\sin(2x) + C\]
5) \(f(x) = \frac{9}{x}\), \(M(10; 2)\):
Интегрируем \(f(x)\) по \(x\):
\[F(x) = 9\ln(|x|) + C\]
Используя условие \(M(10; 2)\), подставим \(x = 10\) и \(y = 2\), чтобы найти константу \(C\):
\[2 = 9\ln(10) + C\]
\[C = 2 - 9\ln(10)\]
Итак, первообразная с учетом условия \(M(10; 2)\) равна:
\[F(x) = 9\ln(|x|) + 2 - 9\ln(10)\]