Question

$arctg frac{ sqrt{1-x}}{1- sqrt{x}}$ найти производную.

 кто тут самый умный, пусть решит если сможет.

Answer 1

$(arctg frac{ sqrt{1-x}}{1- sqrt{x}})'=frac{1}{1+(frac{ sqrt{1-x}}{1- sqrt{x}})^2}cdot(frac{ sqrt{1-x}}{1- sqrt{x}})'=$

 

$=frac{1}{1+frac{1-x}{(1- sqrt{x})^2}}cdotfrac{ (sqrt{1-x})'(1- sqrt{x})-sqrt{1-x}(1- sqrt{x})'}{(1- sqrt{x})^2}=$

 

$=frac{(1- sqrt{x})^2}{(1- sqrt{x})^2+1-x}cdotfrac{frac{1}{2sqrt{1-x}}(1-x)'(1- sqrt{x})-sqrt{1-x}(-frac{1}{2 sqrt{x}})}{(1- sqrt{x})^2}=$

 

$=frac{-frac{1- sqrt{x}}{2sqrt{1-x}}+frac{sqrt{1-x}}{2 sqrt{x}}}{1-2sqrt{x}+x+1-x}=$

 

$=frac{(sqrt{1-x})^2-sqrt{x}(1-sqrt{x})}{2sqrt{x}sqrt{1-x}(2-2sqrt{x})}=frac{1-x-sqrt{x}+x}{4sqrt{x}sqrt{1-x}(1-sqrt{x})}=frac{1-sqrt{x}}{4sqrt{x}sqrt{1-x}(1-sqrt{x})}=$

 

$=frac{1}{4sqrt{x}sqrt{1-x}}$

Answer 2

$(arctgfrac{sqrt{1-x}}{1-sqrt{x}})' = frac{1}{frac{1-x}{(1-sqrt{x})^2}+1}*frac{-frac{(-1)(1-sqrt{x})}{2sqrt{1-x}}+frac{sqrt{1-x}}{2sqrt{x}}}{(1-sqrt{x})^2}=$$frac{(1-sqrt{x})^2}{1-x+1-2sqrt{x}+x}*(frac{sqrt{1-x}}{2sqrt{x}}+frac{1-sqrt{x}}{2sqrt{1-x}}):(1-sqrt{x})$$frac{(1-sqrt{x})^2}{2(1-sqrt{x})}*frac{(1-x)+sqrt{x}-x}{2sqrt{x(1-x})(1-sqrt{x})}}}}=$$frac{(1-sqrt{x})^2(1-2x+sqrt{x})}{2(1-sqrt{x})2sqrt{x(1-x)}(1-sqrt{x})}=frac{1-2x+sqrt{x}}{4sqrt{x(1-x)}}$