Дан ромб ABCD с диагоналями AC=30 BD=16/ Проведена окружность радиусом 4 с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину B, касается этой окружности и пересекает прямую CD в точке М. Найдите СМ.
Ответы
Легко найти сторону ромба, четверть ромба - это египетский треугольник (8,15,17).
Поэтому боковая сторона 17, а угол BDM = g, sin(g) = 15/17, cos(g) = 8/17. (Так проще, чем все время писать arcsin...)
В треугольнике BDM стороне DM противолежит (:)) угол DBM, у которого sin(DBM) = 1/2, то есть это pi/6. Это понятно, поскольку это угол между линией ВО и касательной из В, а ВО в 2 раза больше радиуса.
Далее применяем теорему синусов к треугольнику DBM.
(напомню, что sin(pi - g) = sin(g))
DM/sin(pi/6) = DB/sin(pi/6 + g)
DM = 8/((1/2)*(8/17) + (корень(3)/2)*(15/17)) = 272/(8+15*корень(3));
(между прочим, это почти точно 8, а точнее, 8,00452912419152, это можно было предвидеть - угол g очень близок к 60 градусам, а точнее, g примерно 61,927513064147 градусов. Поэтому треугольник DBM очень близок к прямоугольному.)
Само собой, СМ = 17 - 272/(8+15*корень(3));
это можно записать в такой "красивой" форме
СМ = 17*(1 - х)/(1 + х); где х = 8/(15*корень(3))
Продолжая традицию, скажу, что х почти точно 0,3 (еще точнее, - 0,3079201435678)