Задание 3 (20 баллов).
В равнобедренном треугольнике AMC с основанием AC проведены медианы AK и CD. Докажите, что треугольники ACD и CAK равны.
Ответы
Для доказательства равенства треугольників ACD і CAK, ми можем використовувати метод геометричного розгляду, зокрема метод подібності та спільної сторони.
Оскільки треугольник AMC є рівнобедреним, то медіана AK є висотою і бісектрисою. Отже, він також є медіаною і відносно до треугольника ACD, і відносно до треугольника CAK.
Розглянемо дві пари трикутників:
1. Треугольники ACD і CAM: за головним властивостями медіан треугольника, медіана CD ділить треугольник AMC на два подібних трикутники ACD і CAM (за теоремою про подібність медіан). Таким чином, ми маємо подібність треугольників ACD і CAM.
2. Треугольники CAK і CAM: медіана AK ділить треугольник AMC на два подібних трикутники CAK і CAM.
Таким чином, ми маємо дві пари подібних трикутників: ACD і CAM, а також CAK і CAM.
З подібності трикутників ACD і CAM випливає, що вони мають однакові відношення сторін:
ACD/ACM = AD/AM = CD/CM
З подібності трикутників CAK і CAM випливає, що вони також мають однакові відношення сторін:
CAK/CAM = CK/CM = AK/AM
Оскільки AM є спільною для обох відношень, то ми можемо зробити висновок, що:
ACD/ACM = CAK/CAM
Це означає, що трикутники ACD і CAK подібні за двома кутами і спільною стороною (за теоремою про подібність). А так як ми вже знаємо, що треугольники CAM і CAM є ідентичними (оскільки це один і той самий трикутник), то ми можемо зробити висновок, що:
Треугольники ACD і CAK рівні, оскільки вони подібні і мають спільну сторону.