Question

f1(x)=x⁴, f2(x)=√x
a) Найдите f1(f1(x)).
б)Найдите f2(f2(x)).
в) Решите уравнение f2(f1(x))=f1(f2(x)).
Решите пожалуйста.

Answer 1

Ответ:

а) $f_1(f_1(x))=x^{16}$

б) $f_2(f_2(x))=\sqrt[4]{x}$

в) $x\geqslant 0$

Решение:

Рассмотрим функции:

$f_1(x)=x^4;\ f_2(x)=\sqrt{x}$

Составим сложные функции:

$f_1(f_1(x))=(f_1(x))^4=(x^4)^4=x^{4\cdot4}=\boxed{x^{16}}$

$f_2(f_2(x))=\sqrt{f_2(x)} =\sqrt{\sqrt{x} } =\sqrt[2\cdot2]{x} =\boxed{\sqrt[4]{x} }$

Составим и решим уравнение:

$f_2(f_1(x))=f_1(f_2(x))$

$\sqrt{f_1(x)} =(f_2(x))^4$

$\sqrt{x^4} =(\sqrt{x} )^4$

Отметим ОДЗ: $x\geqslant 0$.

Учитывая ОДЗ, упростим:

$x^2 =x^2$

Получено верное равенство, которое выполняется при любых $x$ из области допустимых значений. Таким образом, ответом является ОДЗ:

$\boxed{x\geqslant 0}$

Элементы теории:

Некоторые свойства степеней и корней:

$(a^m)^n=a^{mn}$

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a} } =\sqrt[mn]{a}$