6. Знайти об'єм тіла, обмеженого вказаними поверненнями. Зробити кресменя. x = 4-x² x^2+ y^2 = 4,z =0
Ответы
Відповідь:
4π
Покрокове пояснення:
Для знаходження об'єму тіла, обмеженого заданими поверхнями, ми можемо використовувати подвійний інтеграл. У цьому випадку поверхні обмежують область в площині x-y.
Задані поверхні:
x = 4 - x^2
x^2 + y^2 = 4
z = 0
Спершу знайдемо перетин цих двох поверхонь. Почнемо з другої поверхні:
x^2 + y^2 = 4
Це рівняння описує коло радіусом 2 і центром в початку координат (0,0). Тепер розглянемо першу поверхню:
x = 4 - x^2
Ця поверхня описує параболу, яка відкривається вниз. Давайте знайдемо її точки перетину з попередньою поверхнею:
4 - x^2 = x^2 + y^2
Підставимо x^2 + y^2 з другої поверхні:
4 - x^2 = 4
Тепер віднімемо 4 від обох боків:
-x^2 = 0
Тут ми бачимо, що ця парабола перетинає попередню поверхню в точках x = 0 і x = 2. Тобто, ми маємо дві області, обмежені цими поверхнями: одна між x = 0 і x = 2, інша - за межами цих точок.
Тепер ми можемо використовувати подвійний інтеграл для знаходження об'єму тіла, обмеженого цими поверхнями:
V = ∬_D dV,
де D - область в площині x-y, обмежена цими поверхнями.
Оскільки наша функція z = 0, об'єм тіла просто рівний площині D:
V = ∬_D dA.
Тепер давайте обчислимо цей подвійний інтеграл за допомогою полярних координат, оскільки область має кругову симетрію:
V = ∫[0 to 2π] ∫[0 to 2] r dr dθ.
Зараз обчислимо цей інтеграл:
V = ∫[0 to 2π] ∫[0 to 2] r dr dθ
= 2π * [1/2 * r^2] | from 0 to 2
= π * (2^2 - 0^2)
= 4π.
Отже, об'єм тіла, обмеженого заданими поверхнями, дорівнює 4π кубічних одиниць