Question

Доказать методом математической индукции

Answer 1

1. $n=2$

$2^2=4$

$1+\sqrt{2^{2-1}}=1+\sqrt{2^1}=1+\sqrt 2$

$4>1+\sqrt 2$

2. пусть верно для $n=k$

$2^k>1+\sqrt{2^{k-1}}$

3. докажем что верно для n=$k+1$

$2^{k+1}>1+\sqrt{2^{k-1+1}}$

$2^{k+1}>1+\sqrt{2^{k}}$

$2^{k+1}=2\cdot2^k>\sqrt{2}\cdot(1+\sqrt{2^{k-1}})=\sqrt2 +\sqrt2\cdot\sqrt{2^{k-1}}>1+\sqrt{2^{k-1+1}}=1+\sqrt{2^{k}}$