Question

1. Решить квадратное уравнение на множестве комплексных чисел, решение
проверить по т. Виета:
а) x^2 − 6x + 34 = 0
б) 8x^2 + 12x + 5 = 0
2. Выполнить действия z1 + z2; z1 − z2; z1 ∙ z2; z1/z2:
а) −6 + 3i
б) −4 − i

Answer 1

Ответ:

Спершу розв'яжемо квадратні рівняння та перевіримо їх рішення за допомогою теореми Вієта.

а) x^2 − 6x + 34 = 0

За формулою квадратного рівняння, де a = 1, b = -6 і c = 34, ми можемо використовувати дискримінант, щоб визначити, чи є корені цього рівняння:

Дискримінант (D) = b^2 - 4ac

D = (-6)^2 - 4 * 1 * 34

D = 36 - 136

D = -100

Так як дискримінант від'ємний, то рівняння має комплексні корені.

Знайдемо корені за допомогою квадратного кореня з від'ємного дискримінанта:

x1 = (-b + √D) / (2a) = (-(-6) + √(-100)) / (2 * 1) = (6 + 10i) / 2 = 3 + 5i

x2 = (-b - √D) / (2a) = (-(-6) - √(-100)) / (2 * 1) = (6 - 10i) / 2 = 3 - 5i

Тепер перевіримо за допомогою теореми Вієта:

Сума коренів = x1 + x2 = (3 + 5i) + (3 - 5i) = 6

Добуток коренів = x1 * x2 = (3 + 5i) * (3 - 5i) = 9 - 25i^2 = 9 + 25 = 34

Таким чином, рішення відповідає вихідному рівнянню.

б) 8x^2 + 12x + 5 = 0

Знову застосуємо формулу квадратного рівняння з a = 8, b = 12 і c = 5:

Дискримінант (D) = b^2 - 4ac

D = (12)^2 - 4 * 8 * 5

D = 144 - 160

D = -16

Як і в попередньому випадку, дискримінант від'ємний, отже, рівняння має комплексні корені.

Знайдемо корені:

x1 = (-b + √D) / (2a) = (-12 + √(-16)) / (2 * 8) = (-12 + 4i) / 16 = (-3 + i) / 4

x2 = (-b - √D) / (2a) = (-12 - √(-16)) / (2 * 8) = (-12 - 4i) / 16 = (-3 - i) / 4

Тепер перевіримо за допомогою теореми Вієта:

Сума коренів = x1 + x2 = ((-3 + i) / 4) + ((-3 - i) / 4) = (-6 / 4) = -3/2

Добуток коренів = x1 * x2 = ((-3 + i) / 4) * ((-3 - i) / 4) = (9 + 1) / 16 = 10 / 16 = 5 / 8

Результат відповідає вихідному рівнянню.

Тепер виконаємо дії з комплексними числами:

а) −6 + 3i

б) −4 − i

Дія z1 + z2:

a) (-6 + 3i) + (-4 - i) = -6 - 4 + 3i - i = -10 + 2i

Дія z1 - z2:

a) (-6 + 3i) - (-4 - i) = -6 + 4 + 3i + i = -2 + 4i

Дія z1 ∙ z2:

a) (-6 + 3i) * (-4 - i) = 24 + 6i + 12i - 3i^2 = 24 + 18i - 3(-1) = 24 + 18i + 3 = 27 + 18i

Дія z1 / z2:

a) (-6 + 3i) / (-4 - i) = [(-6 + 3i) * (-4 + i)] / [(-4 - i) * (-4 + i)] = [(24 - 6i + 12i - 3i^2) / (16 + 1)] = [(24 + 6i + 12i + 3) / 17] = [(27 + 18i) / 17]

Пошаговое объяснение:

норм обяснив?