НУЖНА ВАША ПОМОЩЬ ! И БЫСТРЫЙ ОТВЕТ ! ПОЖАЛУЙСТА !! Заранее благодарю!
17) Дана функция
f (x) = (х-1)^4 (x+1)^3 x^2
Найдите все значения х, при которых: a) f (x) <0
b) f (x) ≤0
c) f (x) > 0
d) f (x) ≥ 0
18) Решите неравенства:
a) x^2 - 2(b - c)х + a^2 > 0,
при этом а, b , с - стороны треугольника ;
b)x2 + (a^2+ b^2 - c^2) х + а^2 b^2 > 0 , при этом а, b , с - стороны треугольника.
19) Если а^2+ 12b < 0, то решите неравенство 3х^2 - b ≤ ах.
Ответы
Ответ:
Объяснение:
17) Давайте розв'яжемо нерівності для функції f(x) = (x-1)^4 * (x+1)^3 * x^2:
a) f(x) < 0:
Розглянемо інтервали, на яких f(x) може бути від'ємною. Звернімо увагу на знаки множників:
- (x-1)^4 - від'ємний для x < 1 (чотири зміни знаку на від'ємний при x=1).
- (x+1)^3 - від'ємний для x < -1 (три зміни знаку на від'ємний при x=-1).
- x^2 - від'ємний для x < 0.
Оскільки всі ці множники повинні бути від'ємними, то враховуючи їхні інтервали, отримаємо:
x < -1 або 0 < x < 1
b) f(x) ≤ 0:
Ця умова включає попередню нерівність та також включає точки, де f(x) дорівнює нулю:
x ≤ -1 або 0 ≤ x ≤ 1
c) f(x) > 0:
Розглянемо інтервали, на яких f(x) може бути додатною. Звернімо увагу на знаки множників:
- (x-1)^4 - додатній для x > 1.
- (x+1)^3 - додатній для x > -1.
- x^2 - додатній для x ≠ 0.
Оскільки всі ці множники повинні бути додатніми, то враховуючи їхні інтервали, отримаємо:
x > 1
d) f(x) ≥ 0:
Ця умова включає попередню нерівність та також включає точки, де f(x) дорівнює нулю:
x ≥ -1
18) Розв'яжемо нерівності для сторін треугольника зі сторонами a, b і c:
a) x^2 - 2(b - c)x + a^2 > 0
Ця нерівність відповідає умові, коли a, b і c є сторонами трикутника. Давайте використовувати дискримінант:
D = (b - c)^2 - 4a^2
Треба знайти значення x, для яких D > 0 (для квадратного дискримінанта відповідного квадратного рівняння).
D > 0
(b - c)^2 - 4a^2 > 0
(b - c)^2 > 4a^2
(b - c) > 2a або (b - c) < -2a
Отже, розв'язок цієї нерівності - це два інтервали: (b - c) > 2a і (b - c) < -2a.
b) x^2 + (a^2 + b^2 - c^2)x + a^2b^2 > 0
Аналогічно, ця нерівність також відповідає умові, коли a, b і c є сторонами трикутника.
D = (a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2
Треба знайти значення x, для яких D > 0.
D > 0
(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2 > 0
(a^2 + b^2 - c^2)^2 > 4a^2b^2
a^2 + b^2 - c^2 > 2ab або a^2 + b^2 - c^2
< -2ab
Отже, розв'язок цієї нерівності - це два інтервали: a^2 + b^2 - c^2 > 2ab і a^2 + b^2 - c^2 < -2ab.
19) Якщо a^2 + 12b < 0, то розв'яжемо нерівність 3x^2 - b ≤ ax:
3x^2 - b ≤ ax
Перенесемо всі члени на одну сторону:
3x^2 - ax - b ≤ 0
Давайте врахуємо умову a^2 + 12b < 0:
a^2 + 12b < 0
12b < -a^2
b < -a^2 / 12
Отже, розв'язок нерівності 3x^2 - ax - b ≤ 0 - це множина x, для яких b < -a^2 / 12.