Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою гострого кута. Знайдіть площу трапеції, якщо її периметр дорівнює 52 см, а основи пропор- цiйнi числам 5 1 11.
Ответы
Відповідь:Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою гострого кута, що означає, що вона ділить гострий кут трапеції на два рівних кути. Позначимо більший з цих кутів як α.
Також за умовою задачі ми маємо основи трапеції, які є в пропорції числам 5. Позначимо довжини цих основ як 5x і 5y, де x і y - це додатні числа.
Тепер ми можемо виразити інші сторони трапеції, використовуючи дані:
- Діагональ, яка є бісектрисою гострого кута, розділить кут α на два рівних кути, кожен з яких дорівнює α/2.
- Трикутник ABC є прямокутним трикутником, тому можна використовувати тригонометричні функції для знаходження сторін.
Розділимо трикутник ABC на два прямокутні трикутники ADC і BDC:
- В трикутнику ADC маємо tg(α/2) = AD / 5x (де AD - половина однієї з основ).
- В трикутнику BDC маємо tg(α/2) = BD / 5y (де BD - половина іншої основи).
Оскільки обидва трикутники мають однаковий кут α/2, то tg(α/2) є спільним для обох трикутників.
Тепер можемо записати рівності для сторін трикутників:
tg(α/2) = AD / 5x ...(1)
tg(α/2) = BD / 5y ...(2)
Послідовно розв'язуємо ці два рівняння відносно AD та BD:
(1) => AD = 5x * tg(α/2)
(2) => BD = 5y * tg(α/2)
Тепер розглянемо трикутник ABC і використаємо теорему Піфагора для знаходження його гіпотенузи BC:
BC^2 = AD^2 + BD^2
BC^2 = (5x * tg(α/2))^2 + (5y * tg(α/2))^2
BC = 5tg(α/2) * sqrt(x^2 + y^2) ...(3)
Отже, ми маємо вираз для гіпотенузи BC через x і y.
Тепер ми можемо виразити периметр трапеції:
P = 2 * (AB + BC) = 2 * (5x + 5tg(α/2) * sqrt(x^2 + y^2))
По умові задачі, P = 52 см:
52 = 2 * (5x + 5tg(α/2) * sqrt(x^2 + y^2))
Поділимо обидва боки на 2:
26 = 5x + 5tg(α/2) * sqrt(x^2 + y^2)
Розділимо обидва боки на 5:
5.2 = x + tg(α/2) * sqrt(x^2 + y^2)
Далі розв'яжемо це рівняння відносно sqrt(x^2 + y^2):
tg(α/2) * sqrt(x^2 + y^2) = 5.2 - x
sqrt(x^2 + y^2) = (5.2 - x) / tg(α/2)
x^2 + y^2 = ((5.2 - x) / tg(α/2))^2
Оскільки x і y - додатні числа, то ми можемо позбутися квадратного кореня:
x^2 + y^2 = ((5.2 - x) / tg(α/2))^2
x^2 + y^2 = (5.2 - x)^2 / tg^2(α/2)
x^2 +
y^2 = (5.2 - x)^2 / tg^2(α/2)
Тепер ми маємо рівняння для x^2 + y^2 відносно x:
x^2 + y^2 = (5.2 - x)^2 / tg^2(α/2)
Помножимо обидва боки на tg^2(α/2):
x^2 * tg^2(α/2) + y^2 * tg^2(α/2) = (5.2 - x)^2
Врахуємо, що tg^2(α/2) = 1/(1 + tg^2(α/2)):
x^2 / (1 + tg^2(α/2)) + y^2 / (1 + tg^2(α/2)) = (5.2 - x)^2
Загальний вигляд рівняння для площі трапеції, де основи пропорційні числам 5 і діагональ є бісектрисою гострого кута, має вигляд:
S = (x^2 + y^2) / (2 * (1 + tg^2(α/2)))
Тепер ми можемо підставити це рівняння у рівняння для периметра:
5.2 = x + tg(α/2) * sqrt(x^2 + y^2)
Розглянемо також трикутник ABC. Застосуємо теорему Піфагора до нього:
BC^2 = AD^2 + BD^2
BC^2 = (5x * tg(α/2))^2 + (5y * tg(α/2))^2
BC = 5tg(α/2) * sqrt(x^2 + y^2)
Отже, ми маємо вираз для BC через x і y.
Тепер ми можемо виразити периметр трапеції:
P = 2 * (AB + BC) = 2 * (5x + 5tg(α/2) * sqrt(x^2 + y^2))
По умові задачі, P = 52 см:
52 = 2 * (5x + 5tg(α/2) * sqrt(x^2 + y^2))
Поділимо обидва боки на 2:
26 = 5x + 5tg(α/2) * sqrt(x^2 + y^2)
Розділимо обидва боки на 5:
5.2 = x + tg(α/2) * sqrt(x^2 + y^2)
Далі розв'яжемо це рівняння відносно sqrt(x^2 + y^2):
tg(α/2) * sqrt(x^2 + y^2) = 5.2 - x
sqrt(x^2 + y^2) = (5.2 - x) / tg(α/2)
x^2 + y^2 = ((5.2 - x) / tg(α/2))^2
Оскільки x і y - додатні числа, то ми можемо позбутися квадратного кореня:
x^2 + y^2 = ((5.2 - x) / tg(α/2))^2
x^2 + y^2 = (5.2 - x)^2 / tg^2(α/2)
x^2 + y^2 = (5.2 - x)^2 / tg^2(α/2)
Тепер ми маємо рівняння для x^2 + y^2 відносно x:
x^2 + y^2 = (5.2 - x)^2 / tg^2(α/2)
Помножимо обидва боки на tg^2(α/2):
x^2 * tg^2(α/2) + y^2 * tg^2(α/2) = (5.2 - x)^2
Врахуємо, що tg^2(α/2) = 1/(1 + tg^2(α/2)):
x^2 / (1 + tg^2(α/2)) + y^2 / (1 + tg^2(α/2)) = (5.2 - x)^2
Загальний вигляд рівняння для площі трапеції, де основи пропорційні числам 5 і діагональ є бісектрисою гострого кута, має вигляд:
S = (x^2 + y^2) / (2 * (1 + tg^2(α/2)))
Тепер ми можемо підставити це рівняння у рівняння для периметра
:
52 = 2 * (5x + 5tg(α/2) * sqrt(x^2 + y^2))
Поділимо обидва боки на 2:
26 = 5x + 5tg(α/2) * sqrt(x^2 + y^2)
Розділимо обидва боки на 5:
5.2 = x + tg(α/2) * sqrt(x^2 + y^2)
Далі розв'яжемо це рівняння відносно sqrt(x^2 + y^2):
tg(α/2) * sqrt(x^2 + y^2) = 5.2 - x
sqrt(x^2 + y^2) = (5.2 - x) / tg(α/2)
Тепер, знаючи значення sqrt(x^2 + y^2), ми можемо знайти площу трапеції за формулою:
S = (x^2 + y^2) / (2 * (1 + tg^2(α/2)))
S = ((5.2 - x) / tg(α/2))^2 / (2 * (1 + 1/(1 + tg^2(α/2))))
S = ((5.2 - x) / tg(α/2))^2 * (1 + tg^2(α/2))
Тепер ми можемо підставити вираз для x, який ми знайшли раніше:
S = ((5.2 - x) / tg(α/2))^2 * (1 + tg^2(α/2))
S = ((5.2 - ((5.2 - x) / tg(α/2))) / tg(α/2))^2 * (1 + tg^2(α/2))
Тепер ми маємо вираз для площі трапеції S через величини x та tg(α/2). Далі можна підставити відомі значення і розв'язати це рівняння.
Покрокове пояснення: