Question

Зная, что cos x = −7/17 и a ∈ ( π/2 ; π ), вычислите tg x/2.

Answer 1

Відповідь:Ми знаємо, що \(\cos(x) = -\frac{7}{17}\) і \(x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\).

Ми можемо використовувати тригонометричні тотожності, щоб знайти \(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\).

По-перше, ми можемо знайти \(\sin(x)\) використовуючи відомий факт, що \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\).

\[\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) = 1 - \left(-\frac{7}{17}\right)^2 = 1 - \frac{49}{289} = \frac{240}{289}\]

\[\sin(x) = \pm\sqrt{\frac{240}{289}} = \pm\frac{4\sqrt{15}}{17}\]

Оскільки \(x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\), то \(\sin(x)\) є від'ємним, отже, \(\sin(x) = -\frac{4\sqrt{15}}{17}\).

Далі ми можемо використовувати тригонометричну тотожність для \(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\):

\[\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} = \frac{-\frac{4\sqrt{15}}{17}}{1 - \frac{7}{17}} = \frac{-\frac{4\sqrt{15}}{17}}{\frac{10}{17}} = \frac{-4\sqrt{15}}{10} = -\frac{2\sqrt{15}}{5}\]

Отже, \(\tan\left(\frac{x}{2}\right) = -\frac{2\sqrt{15}}{5}\).

Покрокове пояснення: