Question

фирма производит товар двух видов в количествах и х и у . функция полных издержек определена соотношением С (х;у) =5х^2+6ху+2у^2+16.Цены этих товаров на рынке равны р1=26 и р2=16 соответственно.При каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль?

Answer 1

Функция прибыли имеет вид
$I(x,y)=P_1cdot x+P_2cdot y-C(x,y)=26x+16y-5x^2-6xy-2y^2-16$
Вычислим частные производные и приравняем их нулю:
$I'_x=left(26x+16y-5x^2-6xy-2y^2-16right)'_x=26-10x-6y\I'_y=left(26x+16y-5x^2-6xy-2y^2-16right)'_y=16-6x-4y\begin{cases}26-10x-6y=0\16-6x-4y=0end{cases}Rightarrowbegin{cases}5x+3y=13\3x+2y=8end{cases}Rightarrowbegin{cases}5x+3left(4-frac32xright)=13\y=4-frac32xend{cases}\5x+3left(4-frac32xright)=13\5x+12-4,5x=13\0,5x=1\x=2\begin{cases}x=2\y=1end{cases}$
Стационарная точка M(2;1).
Проверим выполнение достаточного условия существования экстремума:
$A=I''_{xx}=-10,;;B=I''_{xy}=-6,;;C=I''_{yy}=-4\Delta=AC-B^2=(-10)(-4)-(-6)^2=40-36=4>0,;;A<0$
Значит, при объёмах выпуска x=2, y=1 достигается максимальная прибыль, равная $I(2,1)=26cdot2+16cdot1-5cdot4-6cdot2cdot1-2cdot1-16=18$