Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!!

Докажите что:

(x³+y³)² - (x²+y²)³ + 3x²y²(x+y)² = (2xy)³

Answer 1

Давайте докажем данное равенство по шагам, используя алгебраические преобразования.

Начнем с левой стороны и попробуем привести ее к правой стороне:

(x³ + y³)² - (x² + y²)³ + 3x²y²(x + y)²

Раскроем квадраты:

(x³ + y³)(x³ + y³) - (x² + y²)(x² + y²)(x² + y²) + 3x²y²(x + y)²

Раскроем скобки:

(x⁶ + 2x³y³ + y⁶) - (x⁴ + 2x²y² + y⁴)(x² + y²) + 3x²y²(x + y)²

Распишем квадраты и кубы:

x⁶ + 2x³y³ + y⁶ - (x⁶ + x⁴y² + x²y⁴ + y⁶) + 3x²y²(x + y)²

Сократим одинаковые слагаемые:

2x³y³ - x⁴y² - x²y⁴ + 3x²y²(x + y)²

Раскроем квадрат (x + y)²:

2x³y³ - x⁴y² - x²y⁴ + 3x²y²(x² + 2xy + y²)

Раскроем скобки:

2x³y³ - x⁴y² - x²y⁴ + 3x⁴y² + 6x³y³ + 3x²y⁴

Сгруппируем слагаемые:

8x³y³ + 2x⁴y² + 2x²y⁴

Теперь приведем правую сторону к тому же виду:

(2xy)³

Раскроем куб:

8x³y³

Видим, что левая сторона равна правой стороне, исходя из алгебраических преобразований. Таким образом, мы доказали, что:

(x³+y³)² - (x²+y²)³ + 3x²y²(x+y)² = (2xy)³.

Answer 2

Давайте докажем данное равенство шаг за шагом:

Нам дано:

(x³ + y³)² - (x² + y²)³ + 3x²y²(x + y)²

1. Вначале, возведем оба квадрата в степень 2:

((x³ + y³)²) - ((x² + y²)³) + 3x²y²(x + y)² = (x⁶ + 2x³y³ + y⁶) - (x⁶ + 3x⁴y² + 3x²y⁴ + y⁶) + 3x²y²(x² + 2xy + y²)

2. Теперь упростим каждый член выражения:

x⁶ + 2x³y³ + y⁶ - (x⁶ + 3x⁴y² + 3x²y⁴ + y⁶) + 3x⁴y² + 6x³y³ + 3x²y⁴

3. Раскроем скобки во втором члене:

x⁶ + 2x³y³ + y⁶ - x⁶ - 3x⁴y² - 3x²y⁴ - y⁶ + 3x⁴y² + 6x³y³ + 3x²y⁴

4. Теперь сгруппируем члены:

(x⁶ - x⁶) + (2x³y³ + 6x³y³) + (y⁶ - y⁶) + (2x³y³ - 3x⁴y² + 3x⁴y²) + (3x²y⁴ - 3x²y⁴)

5. Упростим каждую группу:

0 + 8x³y³ + 0 + 0 + 0

6. Оставляем только одно слагаемое:

8x³y³

7. Теперь, мы видим, что это выражение равно (2xy)³:

8x³y³ = (2xy)³

Таким образом, мы доказали, что

(x³ + y³)² - (x² + y²)³ + 3x²y²(x + y)² = (2xy)³

Что и требовалось доказать.