Question

знайти ранг матриці А за допомогою елементарних перетворень. даю 36 балів будь ласка з дуже детальним поясненням як за допомогою елементарних перетворень знаходити ранг матриці


( 1 1 2 3 -1)
( 2 -1 0 -4 -5)
( -1 1 0 -3 -2)
(6 3 4 8 -3)


Найти ранг матрицы A с использованием элементарных преобразований. Предоставляю 36 баллов, пожалуйста, с подробным объяснением, как с помощью элементарных преобразований найти ранг матрицы

Answer 1

Відповідь:

4

rank    

1; 1; 2; 3; -1

2; -1; 0; -4; -5

-1; 1; 0; -3; -2

6; 3; 4; 8; -3

= rank    

1; 1; 2; 3; -1

-1; 2; 0; -4; -5

1; -1; 0; -3; -2

3; 6; 4; 8; -3

= rank    

1; 1; 2; 3; -1

0; 3; 2; -1; -6

0; -2; -2; -6; -1

0; 3; -2; -1; 0

= rank    

1; 2; 1; 3; -1

0; 2; 3; -1; -6

0; -2; -2; -6; -1

0; -2; 3; -1; 0

= rank    

1; 2; 1; 3; -1

0; 2; 3; -1; -6

0; 0; 1; -7; -7

0; 0; 6; -2; -6

= rank    

1; 2; 1; 3; -1

0; 2; 3; -1; -6

0; 0; 1; -7; -7

0; 0; 0; 40; 36

= 4

Пояснення:

привожу к диагональному виду
выполняю операции при которых ранг не изменяется

1. исходная матрица
2. меняю местами 1 и 2 столбец (мне нравятся единицы во 2 столбце)
3. "обнуляю" первый элемент в 2 3 4 строке, при помощи 1 строки
для этого:
к 2 строке добавляю 1 строку
из 3 строки вычитаю 1 строку
из 4 строки вычитаю 1 строку умноженую на 3

4. меняю местами 3 и 2 столбец (мне нравятся что в 3 столбце все числа одинаковые с точностью до знака и равны 2 и -2)
5. "обнуляю" второй элемент в 3 и 4 строке, при помощи 2 строки
для этого:
к 3 строке добавляю 2 строку
к 4 строке добавляю 2 строку
6. "обнуляю" третий элемент в 4 строке, при помощи 3 строки
для этого:
из 4 строки вычитаю 3 строку умноженую на 6

получилась матрица диагонального вида из которой можно выбрать 4 строки и 4 столбца так что на главной диагонали нет нулей

значит можно выбрать матрицу 4х4 у которой определитель будет не равен нулю, значит ранк исходной матрицы равен 4

Answer 2

Решение .

Найти ранг матриц с помощью элементарных преобразований .

$\left(\begin{array}{ccccc}1&1&2&3&-1\\2&-1&0&-4&-5\\-1&1&0&-3&-2\\6&3&4&8&-3\end{array}\right)\sim$  

Умножаем 1 строку на (-2) и прибавляем её ко 2 строке .

Прибавляем 1 строку к 3 строке .

Умножаем 1 строку на (-6) и прибавляем её к 4 строке .

$\sim \left(\begin{array}{ccccc}1&1&2&3&-1\\0&-3&-4&-10&-3\\0&2&2&0&-3\\0&-3&-8&-10&3\end{array}\right)\sim$    

Умножаем 2 строку на 2, 3 строку на 3 и прибавляем 2 стр. к 3 стр .

Умножаем 2 строку на (-1) и прибавляем её к 4 строке .

$\sim \sim \left(\begin{array}{ccccc}1&1&2&3&-1\\0&-3&-4&-10&-3\\0&0&-2&-20&-15\\0&0&-4&0&6\end{array}\right)\sim$          

Умножаем 3 строку на (-2) и прибавляем её к 4 строке .  

$\sim \left(\begin{array}{ccccc}1&1&2&3&-1\\0&-3&-4&-10&-3\\0&0&-2&-20&-15\\0&0&0&40&36\end{array}\right)$          

Получили матицу ступенчатого вида ( в столбцах под элементами с одинаковыми индексами получили нули ) , в которой имеется 4 строки .

Значит ранг матрицы равен 4 .