Question

помогите пж даю 100балов
1. Доведіть, що серед раціональних чисел немає такого числа, квад рат якого дорівнює: a) 3; б) 5; в) 6; г) 7; д) 101.

2. Визначте вид числа:

a) sqrt(7 - 4sqrt(3)) + sqrt(7 - 4sqrt(3)) 6sqrt(4 + 2sqrt(3)) + sqrt(4 - 2sqrt(3))

3. Доведіть, що число (sqrt(3) + sqrt(2))/(sqrt(3) - sqrt(2)) - 2sqrt(6) * c раціональним.

sqrt(11 + 6sqrt(2)) + sqrt(11 - 6sqrt(2)) 4. Доведіть, що число с натуральним.

5. Розташуйте числа sqrt(3); - 2; - 1, 7; pi/3 * y порядку зростання. Укажіть серед наведених раціональні та ірраціональних числа

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Для кожного з чисел a), б), в), г), д), давайте розглянемо, чи існує раціональне число x таке, що x^2 = число з питання:

a) Якщо x^2 = 3, то x = ±√3. Оскільки √3 є ірраціональним числом (його неможливо виразити у вигляді дробу), то серед раціональних чисел немає такого числа.

б) Якщо x^2 = 5, то x = ±√5. Аналогічно, √5 є ірраціональним числом.

в) Якщо x^2 = 6, то x = ±√6. Однак √6 також є ірраціональним числом.

г) Якщо x^2 = 7, то x = ±√7. Ось і тут √7 є ірраціональним числом.

д) Якщо x^2 = 101, то x = ±√101. Також виявляється, що √101 є ірраціональним числом.

Отже, для всіх зазначених чисел (a, б, в, г, д) не існує раціональних чисел x, таких що x^2 дорівнює цим числам.

Розглянемо вираз:

sqrt(7 - 4sqrt(3)) + sqrt(7 - 4sqrt(3)) / (6sqrt(4 + 2sqrt(3)) + sqrt(4 - 2sqrt(3)))

Для спрощення можна помітити, що знаменник у дробу має конгруентний знаком чисельник, тобто вони взаємно скасовуються:

sqrt(7 - 4sqrt(3)) + sqrt(7 - 4sqrt(3)) = 2 * sqrt(7 - 4sqrt(3))

Тепер ми маємо:

2 * sqrt(7 - 4sqrt(3)) / (6sqrt(4 + 2sqrt(3)) + sqrt(4 - 2sqrt(3)))

Для обчислення цього виразу, скористаємося формулою скорочення аргумента для кореня:

a * sqrt(b) + b * sqrt(a) = sqrt(ab) * (sqrt(a) + sqrt(b))

У нашому випадку a = 7 - 4sqrt(3) і b = 4 + 2sqrt(3). Після підстановки отримаємо:

2 * sqrt(7 - 4sqrt(3)) / (sqrt((7 - 4sqrt(3))(4 + 2sqrt(3))) * (sqrt(7 - 4sqrt(3)) + sqrt(4 + 2sqrt(3))))

Тепер спростимо знаменник:

sqrt((7 - 4sqrt(3))(4 + 2sqrt(3))) = sqrt(28 - 12sqrt(9)) = sqrt(28 - 12 * 3) = sqrt(28 - 36) = sqrt(-8)

Зазначена величина є комплексним числом, а не раціональним. Тобто вираз в загальному вигляді є комплексним числом, а не раціональним.

Розглянемо вираз:

(sqrt(3) + sqrt(2)) / (sqrt(3) - sqrt(2)) - 2sqrt(6) * c

Спростимо вираз, раціоналізуючи дільник:

[(sqrt(3) + sqrt(2)) / (sqrt(3) - sqrt(2))] * [(sqrt(3) + sqrt(2)) / (sqrt(3) + sqrt(2))] - 2sqrt(6) * c

Тепер використовуємо формулу різниці квадратів у чисельнику:

[(sqrt(3) + sqrt(2))^2 / ((sqrt(3))^2 - (sqrt(2))^2)] - 2sqrt(6) * c

[(3 + 2sqrt(6) + 2) / (3 - 2)] - 2sqrt(6) * c

[(5 + 2sqrt(6)) / 1] - 2sqrt(6) * c

5 + 2sqrt(6) - 2sqrt(6) * c

5 - 2sqrt(6) * c

Цей вираз є раціональним, адже він може бути записаний у вигляді дробу з раціональними числами (5 та -2c).

Розглянемо вираз:

sqrt(11 + 6sqrt(2)) + sqrt(11 - 6sqrt(2))

Спростимо його, скориставшись формулою для суми квадратних коренів:

sqrt((sqrt(11) + sqrt(6sqrt(2)))^2)

sqrt(11) + sqrt(6sqrt(2))

Цей вираз не є раціональним числом, оскільки включає в себе корені з ірраціональних чисел.

Впорядкуємо числа в порядку зростання:

-2 < -1 < sqrt(3) < 7 < pi/3 * y

Тут:

-2 і -1 є раціональними числами.

sqrt(3) є ірраціональним числом.

7 може бути раціональним або ірраціональним, залежно від контексту.

pi/3 * y - це вираз, і він може бути раціональним або ірраціональним, залежно від значення y, яке не вказано у запиті.

Загалом, ірраціональні числа це sqrt(3) і можливо 7 та pi/3 * y, якщо y - ірраціональне число. Решта чисел є раціональними.