Question

Правильный тетраэдр DABC размещён в прямоугольной системе координат так , Что центр грани ABC совпадает с началом координат , А вершина D Имеет координаты (0;0;2корень 6) . Найдите координаты вершин А, В и С, если вершина А лежит на оси ординат

Answer 1

Ответ:

Для нахождения координат вершин А, В и С тетраэдра DABC, зная, что вершина D имеет координаты (0;0;2√6) и центр грани ABC совпадает с началом координат, давайте рассмотрим особенности расположения вершин тетраэдра.

1. Вершина D имеет координаты (0;0;2√6).

2. Центр грани ABC совпадает с началом координат, поэтому вершина A лежит на оси ординат и имеет координаты (0; a; 0), где a - координата вершины A по оси ординат.

3. Так как тетраэдр правильный, длина ребра равна для всех граней. Грани ABC - это равносторонний треугольник, поэтому длина ребра равна расстоянию от центра грани ABC до вершины A.

Рассмотрим равносторонний треугольник ABC:

- Для каждого угла равностороннего треугольника равенство косинуса гарантирует, что:

cos(60°) = (a/ребро)

где ребро - это расстояние от центра грани ABC до вершины A, а 60° - угол в равностороннем треугольнике.

- Мы знаем, что cos(60°) = 1/2.

Поэтому:

1/2 = a/ребро

Рассматривая только положительные значения, можно записать:

a = ребро/2

- Теперь у нас есть координаты вершины A: (0; ребро/2; 0).

- Мы также знаем, что вершина D имеет координаты (0;0;2√6), а вершина A - (0; ребро/2; 0).

- Так как вершины D и A лежат на оси ординат и координата вершины D по оси z равна 2√6, то расстояние между вершинами D и A равно 2√6 - ребро/2 = 2√6.

- Теперь, зная расстояние между вершинами D и A, можно найти длину ребра:

2√6 = ребро/2

ребро = 4√6

Теперь у нас есть длина ребра тетраэдра DABC, которая равна 4√6. Используя эту длину, мы можем найти координаты вершин B и C. Так как B и C находятся на равных расстояниях от начала координат (центра грани ABC), их координаты будут:

- Вершина B: (ребро/2; 0; 0) = (2√6; 0; 0)

- Вершина C: (0; ребро/2; 0) = (0; 2√6; 0)

Итак, координаты вершин тетраэдра DABC следующие:

A: (0; 2√6; 0)

B: (2√6; 0; 0)

C: (0; 0; 0)

D: (0; 0; 2√6)